Mécanique du point


4 Simulations

4.4 Missile poursuivant un avion

4.4.1 Partie théorique

On envisage un avion assimilé à un point matériel \(A^{t}\) en vol horizontal d'altitude \(h\) et de vitesse constante:
\[\overrightarrow{v}_{a}=v_{a}\overrightarrow{e}_{x}\]
dans le référentiel galiléen \(R=Oxyz\) lié au sol.
Un missile assimilé à un point matériel \(M^{t}\left[x\left(t\right),z\left(t\right)\right]\) est lancé en \(O\) depuis le sol à l'instant \(t=0\), lorsque l'avion passe à sa verticale.
On suppose qu'il acquiert une vitesse de norme constante \(v\) (on néglige la phase transitoire à l'issue de laquelle il atteint un régime permanent).
Par ailleurs, il vise l'avion à tout instant.
  1. Exprimer \(\frac{dx}{dz}\left(t\right)\) en fonction de \(x\left(t\right)\), \(z\left(t\right)\), \(t\) et les autres paramètres du problème
  2. Montrer qu'il existe \(2\) fonctions \(t\longmapsto\alpha\left(t\right)\) et \(t\longmapsto\rho\left(t\right)\) telles que:
    \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{dx\left(t\right)}{dt}=v\sin\alpha\left(t\right)\\\frac{dz\left(t\right)}{dt}=v\cos\alpha\left(t\right)\end{array}\right.\]
    et:
    \[\left\{ \begin{array}{l}x\left(t\right)=v_{a}t-\rho\left(t\right)\sin\alpha\left(t\right)\\z\left(t\right)=h-\rho\left(t\right)\cos\alpha\left(t\right)\end{array}\right.\]
    Interpréter géométriquement \(\rho\) et \(\alpha\).
  3. En déduire que, pour \(t>0\), en notations condensées:
    \(\left\{ \begin{array}{l}\dot{\rho}=v_{a}\sin\alpha-v\\\rho\dot{\alpha}=v_{a}\cos\alpha\end{array}\right.\)
    en précisant \(\rho\left(0\right)\) et \(\alpha\left(0\right)\).
    Justifier que le missile ne peut atteindre l'avion que si \(v>v_{a}\).
  4. Ecrire l'équation différentielle déterminant \(\frac{d\rho}{d\alpha}\) en fonction de \(\rho\) et \(\alpha\).
  5. En déduire l'équation polaire de la trajectoire du missile avant collision lorsque celle-ci est possible.
    Que vaut l'angle que fait le missile avec la verticale lorsqu'il entre en contact avec l'avion?
On rappelle que:
\[\int\frac{dx}{\cos x}=\int\frac{\cos xdx}{1-\sin^{2}x}=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C^{te}\]

4.4.2 Schéma numérique et mise en oeuvre

  1. Proposer un schéma d'Euler explicite de pas \(h\) sur une durée \(T=Nh\) (\(N\) étant un entier strictement supérieur à \(1\)) donnant \(\left(x,z_{n}\right)_{n\in\left[0,N\right]}\) aux instants \(\left\{ t_{n}=nh\right\} _{n\in\left[0,N\right]}\).
  2. Mettre en oeuvre ce schéma numérique en retournant un graphe donnant la solution approchée issue du schéma numérique tant que \(z_{n}<h\).
    On fera également figurer la trajectoire de l'avion et on illustrera les cas où \(v>v_{a}\) et \(v<v_{a}\).

4.4.3 Simulations proposées

Un programme python mettant en jeu différents schémas numériques est accessible par le lien ci-dessous:
En utilisant les fonctionnalités proposées, comparer qualitativement la stabilité apparente de ces différentes méthodes.
On pourra cliquer sur le lien vers le graphe pour le sauver au format image .png sur un répertoire de votre choix (PC ou mobile).