4.3 Pendule linéaire et non linéaire

4.3.1 Partie théorique

• d'une tige rigide \(OM\) de masse négligeable de longueur \(l\), reliée au support \(\left(Supp\right)\) en \(Oy\) par une liaison pivot parfaite
• d'une masse ponctuelle \(\left(M,m\right)\) à son extrémité

• \(M\) fait un angle \(\theta_{0}\) avec l'axe vertical \(Oz\) dirigé vers le bas
• a une vitesse angulaire \(\dot{\theta}_{0}\) prise positive ou nulle

1. Etablir l'équation différentielle non linéaire du \(2^{\grave{e}me}\) ordre déterminant \(t\longmapsto\theta\left(t\right)\)
2. On se place dans le cas simple où le pendule est lâché sans vitesse initiale (\(\dot{\theta}_{0}=0\)) et où \(\theta_{0}\) est petit).
   Donner alors dans ce cas la solution exacte \(\theta\left(t\right)\) en fonction de \(\theta_{0}\), \(\omega_{0}\) et \(t\)
3. On se place toujours dans le cas où le pendule est lâché sans vitesse initiale (\(\dot{\theta}_{0}=0\)) mais \(\theta_{0}\) n'est pas nécessairement petit.
   1. Etablir que:
      \[\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2}+mgl\left(1-\cos\theta\right)=\mathcal{E}\]
      où \(\mathcal{E}\) est uen constante que l'on interprètera et que l'on exprimera en fonction de \(\theta_{0}\) est des constantes du problème.
   2. En déduire que le mouvement est périodique de période:
      \[T\left(\theta_{0}\right)=T_{0}F\left(\theta_{0}\right)\]
      où:
      \[F\left(\theta_{0}\right)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\theta_{0}}\frac{d\theta}{\sqrt{\sin^{2}\frac{\theta_{0}}{2}-\sin^{2}\frac{\theta}{2}}}\]
   3. On introduit la variable \(\varphi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) telle que, pour \(\theta_{0}\in\left]0,\pi\right[\):
      \[\sin\frac{\theta}{2}=\sin\frac{\theta_{0}}{2}\sin\varphi\]
      Montrer que:
      \[F\left(\theta_{0}\right)=\frac{2}{\pi}E\left(\frac{\pi}{2},\sin^{2}\frac{\theta_{0}}{2}\right)\]
      où \(E\) est l'intégrale elliptique de \(1^{\textrm{\`{e}re}}\) espèce définie pour \(\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)et \(K\in\left[0,1\right]\) définie par:
      \[E\left(\alpha,K\right)=\int_{0}^{\alpha}\frac{d\varphi}{\sqrt{1-K\sin^{2}\varphi}}\]
      En déduire une comparaison de la période du pendule non linéaire \(T\left(\theta_{0}\right)\) avec celle du pendule linéaire.
4. Expliquer pourquoi on attend:
   \[F\left(\theta_{0}\right)=1+o\left(\theta_{0}\right)\]
   Etablir ensuite ce résultat directement.
   On rappelle que:
   \[\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}\]
5. Montrer que:
   \[F\left(\theta_{0}\right)=1+\frac{\theta_{0}^{2}}{16}+o\left(\theta_{0}^{3}\right)\]
   et proposer un critère numérique validant le caractère linéaire du pendule.

4.3.2 Schéma numérique et mise en oeuvre

1. Proposer une évaluation approchée de la période réduite pour \(\theta_{0}=10{^\circ}\), \(\theta_{0}=20{^\circ}\) puis \(\theta_{0}=30{^\circ}\).
   \[\widetilde{T}\left(\theta_{0}\right)=\frac{T\left(\theta_{0}\right)}{T_{0}}=F\left(\theta_{0}\right)\]
   par la méthode des trapèzes.
2. Proposer un schéma d'Euler explicite de pas \(h\) sur une durée \(T=Nh\) (\(N\) étant un entier strictement supérieur à \(1\)) donnant \(\left(\theta_{n},\dot{\theta}_{n}\right)_{n\in\left[0,N\right]}\) aux instants \(\left\{ t_{n}=nh\right\} _{n\in\left[0,N\right]}\).
3. Mettre en oeuvre ce schéma numérique en retournant un graphe donnant la solution approchée issue du schéma numérique.
   On choisira \(N\) pour visualiser successivement environ \(2\) périodes, puis \(10\) périodes.
4. Commenter le résultat pour différents jeux de paramètres.

4.3.3 Simulations proposées