4.5 Particule chargée dans un champ magnétique et électrique stationnaires et uniformes

4.5.1 Partie théorique

• de masse \(m\)
• de charge \(q\)

• un champ magnétique uniforme et stationnaire:
  \[\overrightarrow{B}=B\overrightarrow{e}_{z}\]
• un champ électrique uniforme et stationnaire:
  \[\overrightarrow{E}=E\overrightarrow{e}_{y}\]

• \(\overrightarrow{v}_{0,//}=v_{0,z}\overrightarrow{e}_{z}\) est la vitesse initiale parallèle au champ magnétique
• \(\overrightarrow{v}_{0,\bot}=v_{0,x}\overrightarrow{e}_{x}+v_{0,y}\overrightarrow{e}_{y}\) est la vitesse initiale orthogonalement au champ magnétique

1. On suppose d'abord que seul le champ électrique est appliqué et que:
   \[\overrightarrow{v}_{0}=v_{0}\overrightarrow{e}_{x}\]
   1. Justifier que le mouvement a lieu dans le plan \(Oxy\)
      En déduire la forme du potentiel \(V\left(y\right)\) associé à \(\overrightarrow{E}\)
   2. Etablir le système différentiel donnant les fonctions \(t\longmapsto x\left(t\right)\) et \(t\longmapsto y\left(t\right)\) et donner sa solution dans le cas étudié
   3. En déduire la trajectoire et donner son allure.
      Quel angle fait la vitesse avec l'axe \(Ox\) à l'abscisse \(x=d\)?
2. On suppose maintenant au contraire que que seul le champ magnétique est appliqué et que:
   \[\overrightarrow{v}_{0}=v_{0,\bot}\overrightarrow{e}_{x}+v_{0,//}\overrightarrow{e}_{z}\]
   On posera:
   \[\overrightarrow{\Omega}_{c}=-\frac{q\overrightarrow{B}}{m}=\omega_{c}\overrightarrow{e}_{z}\]
   où \(\omega_{c}=-\frac{qB}{m}\) sera appelée pulsation cyclotron algébrique.
   1. Etablir l'équation vectorielle:
      \[\left.\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{c}\land\overrightarrow{v}\]
      où \(\overrightarrow{v}\) désigne la vitesse de la particule dans \(R\).
   2. En déduire \(2\) invariants de la trajectoire au cours du temps.
      On remarquera notamment que \(\omega_{c}\) est indépendante de la votesse initiale.
   3. Décrire sans calcul la trajectoire de la particule.
      Montrer qu'elle décrit en projection dans \(Oxy\) un cercle de rayon dont on précisera le rayon \(R\) en fonction de \(q\), \(m\), \(B\) et \(v_{0,\bot}\) puis en fonction de \(\omega_{c}\) et \(v_{0,\bot}\).
   4. Etablir le système différentiel donnant les fonctions \(t\longmapsto x\left(t\right)\), \(t\longmapsto y\left(t\right)\) et \(t\longmapsto z\left(t\right)\).
      Le résoudre en introduisant par exemple la variable complexe:
      \[X\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right)\]
      Retrouver les résultats précédents et caractériser la trajectoire hélicoïdale correspondante.
3. On suppose maintenant que les champ électrique et magnétique sont appliqués simultanément et que, pour simplifier:
   \[\overrightarrow{v}_{0}=v_{0,\bot}\overrightarrow{e}_{x}+v_{0,//}\overrightarrow{e}_{z}\]
   1. Donner les équations du mouvement
   2. On appelle dérive une composante du mouvement de vecteur vitesse constant.
      Montrer qu'outre celle liée à \(\overrightarrow{v}_{0,//}\), on obtient un autre composante \(\overrightarrow{V}_{H}\) indépendante des conditions initiales qui se met sous la forme remarquable:
      \[\overrightarrow{V}_{H}=\frac{\overrightarrow{E}\land\overrightarrow{B}}{B^{2}}\]
      Pourquoi n'est-elle pas dirigée comme on aurait pu le croire dans le sens de \(\overrightarrow{E}\)?
      On justifiera qu'il est incorrect de superposer les trajectoires obtenues séparément sous l'effet de \(\overrightarrow{E}\) et de \(\overrightarrow{B}\).
   3. Voyez-vous pourquoi cette vitesse est appelée vitesse de Hall?

4.5.2 Schéma numérique et mise en oeuvre

1. Proposer un schéma d'Euler explicite de pas \(h\) sur une durée \(T=Nh\) (\(N\) étant un entier strictement supérieur à \(1\)) donnant \(\left(x,y_{n}\right)_{n\in\left[0,N\right]}\) aux instants \(\left\{ t_{n}=nh\right\} _{n\in\left[0,N\right]}\):
   1. dans le cas où seul \(\overrightarrow{E}\) est appliqué
   2. dans le cas où seul \(\overrightarrow{B}\) est appliqué
   3. dans le cas où \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{B}\) sont appliqués simultanément
   On introduira des variables et des paramètres réduits de son choix.
2. Mettre en oeuvre ce schéma numérique en retournant un graphe donnant la solution approchée par le schéma d'Euler précédent.

4.5.3 Simulations proposées

• comparer qualitativement la stabilité apparente de ces différentes méthodes
• Mettre en évidence le mouvement de dérive