Mécanique du point


4 Simulations

4.2 Tir d'un obus

4.2.1 Partie théorique

On envisage le tir d'un obus dans le référentiel galiléen \(R=Oxyz\) lié au sol.
Un canon situé en \(O\) tire un projectile, assimilé à un moint matériel de masse \(m\), avec une vitesse \(\overrightarrow{v}_{0}\) dans \(R\):
Il part donc de \(O\) avec une vitesse initiale:
\[\overrightarrow{v}_{0}=v_{0}\cos\alpha\overrightarrow{e}_{x}+v_{0}\sin\alpha\overrightarrow{e}_{z}\]
dans la base orthonormée \(B=\left(\overrightarrow{e}_{x},\overrightarrow{e}_{y},\overrightarrow{e}_{z}\right)\) liée à \(R\).
On note \(\overrightarrow{g}=-g\overrightarrow{e}_{z}\) l'accélération de la pesanteur supposée uniforme.
On prend éventuellement en compte une force de frottement fluide de l'air de la forme:
\[\overrightarrow{F}_{f}=-m\eta\overrightarrow{v}\]
On notera \(\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{OM^{t}}\) le rayon vecteur déterminant la position de l'obus à un instant \(t\).
  1. Ecrire le principe fondamental de la dynamique à l'obus dans le référentiel galiléen \(R\)
  2. Etablir le système différentiel donnant les coordonnées \(\left(v_{x}\left(t\right),v_{z}\left(t\right)\right)\) dans \(B\) de la vitesse de l'obus.
    Le résoudre en tenant compte des conditions initiales (C.I.)
  3. En déduire les coordonnées \(\left(x\left(t\right),z\left(t\right)\right)\) dans \(B\) du rayon vecteur de l'obus dans le plan \(Oxz\) de la trajectoire.
  4. En l'absence de frottement de l'air, reprendre l'étude précédente et en déduire:
    1. l'équation cartéienne \(x\longmapsto z=f\left(x\right)\) de la trajectoire de l'obus
    2. la portée \(d\) et la hauteur maximale \(H\) en fonction de \(v_{0}\), \(\alpha\) et \(g\)

4.2.2 Schéma numérique et mise en oeuvre

  1. Proposer un schéma d'Euler explicite de pas \(h\) sur une durée \(T=Nh\) (\(N\) étant un entier strictement supérieur à \(1\)) donnant les positions \(\left(x_{n},z_{n}\right)_{n\in\left[0,N\right]}\) aux instants \(\left\{ t_{n}=nh\right\} _{n\in\left[0,N\right]}\).
  2. Mettre en oeuvre ce schéma numérique en retournant un graphe bicourbe donnant:
    1. la solution exacte (en pointillés)
    2. la solution approchée issue du schéma numérique
    On exclura les points d'ordonnée négative (l'obus ne va pas plus bas que le sol)
  3. Commenter le résultat pour différents jeux de paramètres

4.2.3 Simulations proposées

Un programme python mettant en jeu différents schémas numériques est accessible par le lien ci-dessous:
En utilisant les fonctionnalités proposées, discuter qualitativement l'influence du coefficient de frottement fluide \(\eta\) sur la trajectoire.
On pourra cliquer sur le lien vers le graphe pour le sauver au format image .png sur un répertoire de votre choix (PC ou mobile).