2.4 Théorème du moment cinétique en \(O\) fixe dans \(R_{g}\)
2.4.1 Moment cinétique en \(A\) dans \(R_{g}\)
On appelle moment cinétique au point \(A\) dans \(R_{g}\) d'une particule de masse \(m\) la grandeur:
\[\boxed{\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(A\right)=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge m\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}}\] où \(\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\) est la vitesse de la particule à l'instant \(t\) dans \(R_{g}\).
Dimension et unité S.I.:
Un moment cinétique a pour dimension \(\left[\sigma\right]=ML^{2}T^{-1}\).
Dans le S.I., elle s'exprime en \(kgm^{2}s^{-1}\).
2.4.2 Moment en \(A\) d'une force d'interaction
On appelle moment en \(A\) de la force d'interaction \(\overrightarrow{F}\) appliquée à la particule la grandeur:
\[\boxed{\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{F}}\] \(A\) étant fixé, \(\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)\) sera invariant dans tout référentiel, et lié à l'interaction de la particule avec d'autres corps ou d'autres particules.
Dimension et unité S.I.:
Un moment de force a pour dimension \(\left[\Gamma\right]=ML^{2}T^{-2}\).
Dans le S.I., elle s'exprime en \(N.m\), qui désigne l'unité dérivée \(kgm^{2}s^{-2}\).
2.4.3 Théorème du moment cinétique (TMC) en \(A\) dans \(R_{g}\)
Enoncé:
Dans un référentiel galiléen \(R_{g}\), soit une particule soumise à une force d'interaction totale notée \(\overrightarrow{f}\) à l'instant \(t\).
Le théorème du moment cinétique (TMC) au point \(A\) appliqué à la particule dans \(R_{g}\) s'écrit:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(A\right)}{dt}\right|_{R_{g}}+\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\left(A\right)\wedge\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}=\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)\] où:
- \(\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(A\right)=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge m\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\) est le moment cinétique en \(A\) de la particule dans \(R_{g}\)
- \(\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\left(A\right)\) est la vitesse du point \(A\) dans \(R_{g}\)
- \(\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}=m\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\left(t\right)\) est la quantité de mouvement de la particule dans \(R_{g}\)
- \(\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}\) est le moment en \(A\) de la force d'interaction agissant sur la particule
Preuve:
Dans le cadre de la mécanique du point (celui-ci n'ayant aucune structure), le TMC se déduit du PFD
\[\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(A\right)}{dt}\right|_{R_{g}}=\left.\frac{d\left[\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}\right]}{dt}\right|_{R_{g}}=\left[\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}-\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\left(A\right)\right]\wedge\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}+\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\left.\frac{d\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}}{dt}\right|_{R_{g}}\] D'après le PFD, et en remarquant que \(\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{p}_{R_{g}}\):
\[\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(A\right)}{dt}\right|_{R_{g}}=-\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\left(A\right)\wedge\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}+\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\left(A\right)\wedge\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}+\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)\]
2.4.4 Théorème du moment cinétique (TMC) par rapport à \(O\) fixe dans \(R_{g}\)
Enoncé:
Dans un référentiel galiléen \(R_{g}\), soit une particule soumise à une force d'interaction totale notée \(\overrightarrow{F}\left(t\right)\) à l'instant \(t\).
Le théorème du moment cinétique (TMC) au point \(O\) fixe dans \(R_{g}\) appliqué à la particule dans \(R_{g}\) s'écrit:
\[\boxed{\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}\left(O\right)_{R_{g}}}{dt}\right|_{R_{g}}=\overrightarrow{\Gamma}\left(O\right)}\]
où:
- \(\overrightarrow{\sigma}\left(O\right)_{R_{g}}=\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}=\overrightarrow{OM^{t}}\wedge m\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\) est le moment cinétique en \(O\) de la particule dans \(R_{g}\)
- \(\overrightarrow{\Gamma}\left(O\right)=\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}\) est le moment en \(O\) de la force d'interaction agissant sur la particule
Preuve:
Dans le cadre de la mécanique du point ( celui-ci n'ayant aucune structure ), le TMC se déduit du PFD
\[\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(O\right)}{dt}\right|_{R_{g}}=\left.\frac{d\left[\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}\right]}{dt}\right|_{R_{g}}=\left[\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}-\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\left(O\right)\right]\wedge\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}+\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\left.\frac{d\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}}{dt}\right|_{R_{g}}\] D'après le PFD, et en remarquant que \(\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{p}{}_{R_{g}}\)et que \(\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\left(O\right)=\overrightarrow{0}\):
\[\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(O\right)}{dt}\right|_{R_{g}}=\overrightarrow{\Gamma}\left(O\right)\]
2.4.5 Théorème du moment cinétique (TMC) par rapport à l'axe orienté \(\Delta_{+}\) fixe dans \(R_{g}\)
Enoncé:
Dans un référentiel galiléen \(R_{g}\), soit une particule soumise à une force d'interaction totale notée \(\overrightarrow{f}\) à l'instant \(t\).
Soit \(\Delta\) un axe fixe dans \(R_{g}\).
Notons \(\Delta_{+}\) l'axe \(\Delta\) muni d'une orientation positive suivant le vecteur \(\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}\).
Le théorème du moment cinétique (TMC) par rapport à l'axe \(\Delta_{+}\) orienté et fixe dans \(R_{g}\) appliqué à la particule s'écrit:
\[\boxed{\left.\frac{d\sigma_{\Delta_{+},R_{g}}}{dt}\right|_{R_{g}}=\Gamma_{\Delta_{+}}}\] où:
- \(\sigma_{\Delta_{+},R_{g}}=\overrightarrow{\sigma}\left(I\in\Delta\right)_{R_{g}}.\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}\) est le moment cinétique par rapport à l'axe orienté \(\Delta_{+}\) de la particule dans \(R_{g}\)
- \(\Gamma_{\Delta_{+}}=\overrightarrow{\Gamma}\left(I\in\Delta\right).\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}\) est le moment de la force d'interaction \(\overrightarrow{f}\) par rapport à l'axe orienté \(\Delta_{+}\)
Propriété:
Ces grandeurs sont indépendantes du choix de \(I\) pris sur l'axe \(\Delta\).
En effet, choisissons un un autre point \(J\in\triangle\) distinct de \(I\in\triangle\) tel que:
\[\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}=\frac{\overrightarrow{IJ}}{\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert }\]
- \(\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\) étant un torseur (cinétique), il est équiprojectif et, en divisant par \(\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert ,\)on obtient que:\[\overrightarrow{\sigma}_{R_{g}}\left(J\in\Delta\right).\frac{\overrightarrow{IJ}}{\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert }=\overrightarrow{\sigma}_{R_{g}}\left(I\in\Delta\right).\frac{\overrightarrow{IJ}}{\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert }\]
- \(\overrightarrow{\Gamma}\) étant un torseur (force), il est équiprojectif et, en divisant par \(\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert ,\)on obtient que:\[\overrightarrow{\Gamma}\left(J\in\Delta\right).\frac{\overrightarrow{IJ}}{\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert }=\overrightarrow{\Gamma}\left(I\in\Delta\right).\frac{\overrightarrow{IJ}}{\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert }\]
Preuve:
En remarquant que \(\Delta_{+}\) est indépendant du temps \(R\) et en s'appuyant sur le TMC en \(I\in\triangle\) fixe dans \(R\):
\[\left.\frac{d\sigma_{\Delta_{+},R_{g}}}{dt}\right|_{R_{g}}=\left.\frac{d\left[\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(I\right).\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}\right]}{dt}\right|_{R_{g}}=\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}.\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(I\right)}{dt}\right|_{R_{g}}\]
soit:
\[\left.\frac{d\sigma_{\Delta_{+},R_{g}}}{dt}\right|_{R_{g}}=\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}.\overrightarrow{\Gamma}\left(I\right)=\Gamma_{\Delta_{+}}\]
Interprétation géométrique:
On interprète chacun des termes \(\sigma_{Oz,R}\), \(\Gamma_{Oz}\), \(\Gamma_{Oz,ent,R/R_{g}}\), \(\Gamma_{Oz,cor,R/R_{g}}\) comme dans le cas traité au II.3.5.
Preuve:
En remarquant que \(\overrightarrow{e}_{z}\) est indépendant du temps \(R_{g}\) et en s'appuyant sur le TMC en O fixe dans \(R_{g}\):
\[\left.\frac{d\sigma_{Oz,R_{g}}}{dt}\right|_{R_{g}}=\left.\frac{d\left[\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(O\right).\overrightarrow{e}_{z}\right]}{dt}\right|_{R_{g}}=\overrightarrow{e}_{z}.\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(O\right)}{dt}\right|_{R_{g}}=\overrightarrow{e}_{z}.\overrightarrow{\Gamma}\left(O\right)=\Gamma_{Oz}\]
2.4.6 Interprétations géométriques
Force appliquée en \(M\):
Intéressons-nous par exemple à \(\Gamma_{Oz}\) associé à tout instant la force \(\overrightarrow{F}\) appliquée en \(M\) (ieu de la particule à l'instant considéré), que l'on notera donc ici:
\[\Gamma_{Oz}\left\{ \overrightarrow{F}\right\} =\left(\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{F}\right).\overrightarrow{e}_{z}\]
Soit \(H=\textrm{proj}{}_{\bot}\left(M,Oz\right)\) la projection orthogonale de \(M\) sur \(\Delta=Oz\).
Remarquons que \(\Gamma_{Oz}\left\{ \overrightarrow{F}\right\} \) peut en fait s'évaluer:
- en faisant intervenir un point \(A\) au lieu de \(O\), dès lors que \(A\in Oz\) (car \(\overrightarrow{OA}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{e}_{z}\))
- en faisant intervenir \(\overrightarrow{F}_{\bot}\), projection de \(\overrightarrow{F}\) sur le plan \(\Pi_{M}=\left(M,\bot\overrightarrow{e}_{z}\right)\) contenant \(M\) et ortogonal à \(\overrightarrow{e}_{z}\)
Finalement, on observe que:
\[\Gamma_{Oz}\left\{ \overrightarrow{F}\right\} =\Gamma_{Hz}\left\{ \overrightarrow{F}_{\bot}\right\} \]
On peut alors donner de \(\Gamma_{Oz}\) 2 interprétations géométriques.
Orientations associées à l'axe Oz
Orientons positivement \(Oz\) selon \(\overrightarrow{e}_{z}\) i.e.:
\[\overrightarrow{e}_{+}=\overrightarrow{e}_{z}\]
de sorte que:
\[\Delta_{+}=\left(O,\overrightarrow{e}_{+}\right)=Oz\]
Orientons les angles dans le plan \(\Pi_{O}=\left(O,\bot\overrightarrow{e}_{z}\right)\) positivement par rapport à \(\overrightarrow{e}_{+}\) dirigeant \(Oz\), par la règle du tire-bouchon de Maxwell.
1ère interprétation géométrique: méthode de la composante utile
Plaçons-nous en coordonnées cylindriques \(\left(\rho,\varphi,z\right)\) d'axe \(Oz\).
Remarquons que seule la composante utile \(F_{\varphi}\) de \(\overrightarrow{F}\) contribue finalement à \(\Gamma_{\Delta_{+}}=\Gamma_{Oz}\):
\[\boxed{\Gamma_{Oz}=HM\times F_{\varphi}=\rho\times f_{\varphi}}\]
qui est donc du signe de \(F_{\varphi}\):
- si \(F_{\varphi}>0\), la contribution de \(\overrightarrow{f}\) en \(M\) tend à provoquer une rotation de la particule dans le sens positif associé à \(Oz\)
- si \(F_{\varphi}<0\), la contribution de \(\overrightarrow{f}\) en \(M\) tend à provoquer une rotation de la particule dans le sens négatif associé à \(Oz\)
2ème interprétation géométrique: méthode du bras de levier
Remarquons tout d'abord que la composante longitudinale \(f_{z}\) de \(\overrightarrow{f}\) ne contribue pas à \(\Gamma_{\Delta_{+}}=\Gamma_{Oz}\).
Notons:
\[\overrightarrow{f}_{\bot}=proj_{\bot}\left(\overrightarrow{f},Oxy\right)\]
la projection orthogonale de \(\overrightarrow{f}\) sur un plan orthogonal à l'axe \(\Delta_{+}=Oz\).
Intéressons-nous à la droite:
\[D_{+}=\left(M,\overrightarrow{f}_{\bot}\right)\]
orientée positivement par rapport à \(\Delta_{+}=Oz\), que l'on appellera ligne de force dans \(\Pi_{M}=\left(M,\bot\overrightarrow{e}_{z}\right)=Mxy\).
On appelle bras de levier la distance \(d\) de la ligne de force \(D\) à \(H\).
On obtient alors:
\[\boxed{\Gamma_{\Delta_{+}}=\Gamma_{Oz}=d\times\overline{f}_{\bot}}\]
qui est donc du signe de \(\overline{f}_{\bot}\):
- si \(\overline{f}_{\bot}>0\), la contribution de \(\overrightarrow{f}\) en \(M\) tend à provoquer une rotation de la particule dans le sens positif associé à \(\Delta_{+}=Oz\)
- si \(\overline{f}_{\bot}<0\), la contribution de \(\overrightarrow{f}\) en \(M\) tend à provoquer une rotation de la particule dans le sens négatif associé à \(\Delta_{+}=Oz\)
Moment cinétique et moment de \(\overrightarrow{f}\) par rapport à Oz:
En utilisant la méthode de la composante utile:
- \(\sigma_{Oz,R_{g}}\) ne fait intervenir que la quantité de mouvement orthoradiale \(p_{\varphi}=mv_{\varphi}=m\rho\dot{\varphi}\) donc:\[\boxed{\sigma_{\Delta_{+}=Oz,R_{g}}=HM\times mv_{\varphi}=m\rho^{2}\dot{\varphi}}\]
- \(\Gamma_{Oz}\)ne fait intervenir que la force orthoradiale \(f_{\varphi}\) donc:\[\boxed{\Gamma_{\Delta_{+}=Oz}=HM\times f_{\varphi}=\rho f_{\varphi}}\]
Le TMC à la particule dans \(R_{g}\) par rapport à l'axe fixe orienté \(Oz\) conduuit donc, en coordonnées cylindriques, à l'équation sacalaire:
\[m\frac{d}{dt}\left[\rho^{2}\dot{\varphi}\right]=\rho f_{\varphi}\]
Remarque:
On peut alors interpréter le théorème du moment cinétique vectoriel par rapport à un point \(O\) fixe dans \(R_{g}\):
\[\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(O\right)}{dt}\right|_{R_{g}}=\overrightarrow{\Gamma}\left(O\right)\]en projection sur les 3 axes fixes \(Ox\), \(Oy\) et \(Oz\).
Exemple:
En coordonnées cartésiennes, le moment cinétique en \(O\) dans la base \(B_{cart}\) liée à \(R_{g}=Oxyz\) s'écrit:
\[\overrightarrow{\sigma}{}_{R_{g}}\left(O\right)=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{p}_{R_{g}}=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}\\xp_{y}-yp_{x}\end{array}\right)\]
Ainsi, dans le 1er quadrant, on interprète \(\sigma{}_{R_{g},z}\left(O\right)=xp_{y}-yp_{x}\) par superposition en remarquant tout d'abord que que \(p_{z}\) n'apporte aucune contribution et que, en orientant positivement \(Oz\):
- \(xp_{y}\) est associé à \(p_{y}\overrightarrow{e}_{y}\) en \(M\), mettant en jeu le bras de levier \(d=x>0\), sachant que si \(p_{y}>0\), la contribution au moment cinétique est bien positive
- \(yp_{x}\) est associé à \(p_{x}\overrightarrow{e}_{x}\) en \(M\), mettant en jeu le bras de levier \(d=y>0\), sachant que si \(p_{x}>0\), la contribution au moment cinétique est bien négative
2.4.7 Pendule simple
Considérons un pendule simple accroché à un support en \(O\), constitué:
- d'un fil sans masse, inextensible de longueur \(l\)
- d'une masse ponctuelle \(m\) en \(M\)
On se place dans le référentiel du laboratoire \(R_{g}=Oxyz\) supposé galiléen.