2.2 Invariants Newtoniens dans tout référentiel

2.2.1 Masse d'inertie

2.2.2 Forces d'interaction

2.2.3 Exemples de forces d'interaction

• Poids
  
  L'interaction avec la Terre, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, est décrite sommairement par une force constante, verticale descendante, appelée poids:
  \[\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}=-mg\overrightarrow{e}_{z}\]
  En réalité, sur des échelles de temps de l'ordre du jour et des hauteurs caractéristiques de l'ordre du \(km\), \(\overrightarrow{P}\) dépend de \(M\) et n'est pas tout à fait vertical.
• Force élastique exercée par un ressort sans masse:
  
  Un ressort sans masse est caractérisé par:
  • une longueur à vide \(l_{0}\)
  • une raideur \(k\)
  Lorsque sa longueur vaut \(l\) ( i.e. son allongement vaut \(\Delta l=l-l_{0}\) ), il exerce une force:
  \[\overrightarrow{F}_{r}=-k\left[l-l_{0}\right]\overrightarrow{e}_{x}\]
  Ainsi:
  • Si \(l>l_{0}\), \(\overrightarrow{F}_{r}\) est dirigée vers \(-\overrightarrow{e}_{x}\), i.e. le ressort tend à se contracter
  • Si \(l<l_{0}\), \(\overrightarrow{F}_{r}\) est dirigée vers \(+\overrightarrow{e}_{x}\), i.e. le ressort tend à s'allonger
  Il s'agit donc d'une force de rappel: la masse est attirée vers une position correspondant à \(l=l_{0}\), pour laquelle le ressort a sa longueur à vide.
  Remarque:
  En réalité, s'il est nécessaire de rendre en compte la masse du ressort, celui-ci est qualifié de ressort massique.
  Il est parcouru par des ondes de déformation et l'expression de la force de rappel sur la masse \(m\) est à reconsidérer.
  On pourra alors interpréter le ressort massique comme une chaîne de ressorts i.e un grand nombre de masses reliées entre elles par des ressorts sans masse.
• Forces de frottement fluide exercées par l'écoulement de l'air
  
  Lorsque la masse se déplace dans l'air ( où tout autre milieu suivant le problème considéré), elle subit une force d'interaction appelée force de frottement fluide.
  On se place dans le référentiel \(R_{air}\)où l'air est fixe, loin de la particule étudiée.
  On pourra rencontrer 2 types de modélisation:
  1. une force de frottement fluide linéaire dite visqueuse:
     
     \[\overrightarrow{F}_{f,1}=-\alpha\overrightarrow{v}_{R_{air}}\]
     où \(\alpha\) est un coefficient positif
  2. une force de frottement fluide non linéaire quadratique:\[\overrightarrow{F}_{f,2}=-\beta v_{R_{air}}^{2}\frac{\overrightarrow{v}_{R_{air}}}{\left\Vert \overrightarrow{v}_{R_{air}}\right\Vert }\]
     où \(\beta\) est un coefficient positif
• Forces de contact exercées par un support rigide
  
  Lors du mouvement guidé s'une particule, i.e. dont la trajectoire orientée \(C_{+}\) s'effectue un support supposé rigide bordé par la surface \(S_{supp}\), l'interaction de celui-ci avec la particule est décrite par une réaction \(\overrightarrow{R}\) appliquée en \(M\).
  On appelle vitesse de glissement de la particule sur le support la vitesse de la particule mesurée dans le référentiel lié au support:
  \[\overrightarrow{v}_{g}\left(M\right)=\overrightarrow{v}{}_{R_{supp}}\left(M\right)=\overrightarrow{v}_{g}=+\overline{v}_{g}\overrightarrow{\tau}_{+}\left(M\right)\]
  où \(\overrightarrow{\tau}_{+}\left(M\right)\) est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire orientée \(C_{+}\)de la trajectoire.
  On dira que, à un instant donné:
  • la particule glisse vers l'avant si \(\overline{v}_{g}=+\left|\overline{v}_{g}\right|>0\)
  • la particule ne glisse pas si \(\overline{v}_{g}=0\)
  • la particule glisse vers l'arrière si \(\overline{v}_{g}=-\left|\overline{v}_{g}\right|<0\)
  Supposons que la surface \(S_{supp}\) bordant le support est régulière et, dans ces conditions, notons:
  • \(\Pi_{M}\) le plan tangent en \(M\) à \(S_{supp}\)
  • \(\overrightarrow{n}\left(M\right)\) la normale pointant vers le centre de courbure de la trajectoire \(C\) ( i.e. dans le sens de la concavité locale )
  \[\overrightarrow{R}=\overrightarrow{T}\left(M\right)+N\left(M\right)\overrightarrow{n}\left(M\right)\]
  Les lois du frottement solide de Coulomb apportent dans notre cas une description permettant la détermination du mouvement guidé.
  Elles font intervenir 2 paramètres, proches en valeur relative:
  • \(f_{s}\): coefficient de frottement statique
  • \(f_{d}\lesssim f_{s}\): coefficient de frottement dynamique
  Distinguons 3 cas, chacun d'eux ayant la structure:
  
  équation ( information de l'interaction ) tant que inéquation ( validation du cas considéré )
  1. S'il y a glissement vers l'avant, le frottement solide est caractérisé par:
     
     \[\overrightarrow{T}\left(M\right)=-f_{d}\left\Vert \overrightarrow{N}\left(M\right)\right\Vert \overrightarrow{\tau}_{+}\left(M\right)\]
     tant que:
     \[\overline{v}_{g}>0\]
  2. En l'absence de glissement, le frottement solide est caractérisé par:
     
     \[\overrightarrow{v}_{g}=\overrightarrow{0}\]
     tant que:
     \[\left\Vert \overrightarrow{T}\left(M\right)\right\Vert <f_{s}\left\Vert \overrightarrow{N}\left(M\right)\right\Vert \]
  3. S'il y a glissement vers l'arrière, le frottement solide est caractérisé par:
     
     \[\overrightarrow{T}\left(M\right)=+f_{d}\left\Vert \overrightarrow{N}\left(M\right)\right\Vert \overrightarrow{\tau}_{+}\left(M\right)\]
     tant que:
     \[\overline{v}_{g}<0\]
  Contact sans frottement:
  On dira que le contact est sans frottement lorsque la réaction \(\overrightarrow{R}\) exercée par le support est normale à la trajectoire \(C\) .
  Cette situation est la limite des lois du frottement solide de Coulomb où \(f_{s}\) et \(f_{d}\) sont pris nuls.
  Remarque:
  Lorsque l'on souhaite prendre en compte le frottement solide, on peut le plus souvent confondre \(f_{s}\) et \(f_{d}\) à travers un coefficient noté \(f\).
  Toutefois, certaines situations, où alternent glissements et non glissements successifs, ne peuvent s'interpréter qu'en tenant compte des \(2\) coefficients: en particulier, tout en restant proches en valeur relative, l'inégalité \(f_{d}<f_{s}\) est alors capitale.