2.1 Référentiels galiléens
2.1.1 Caractérisation
Un référentiel \(R_{g}=Oxyz\) est dit galiléen si une particule, loin de tout autre corps, a dans ce référentiel un mouvement rectiligne et uniforme i.e. une vitesse:
\(\overrightarrow{v}_{R_{g}}=\overrightarrow{V}\) (vecteur vitesse constant)
2.1.2 Ensemble des référentiels galiléens
Si le référentiel \(R_{g}=Oxyz\) est galiléen, alors \(R_{g}^{\prime}=O^{\prime}x'y'z'\) est également galiléen s'il est en translation rectiligne et uniforme par rapport à \(R_{g}\).
En effet, d'après la loi de composition des vitesses:
\[\overrightarrow{v}_{R_{g}}\left(t\right)=\overrightarrow{v}_{R_{g}^{\prime}}\left(t\right)+\overrightarrow{v}_{ent,R_{g}^{\prime}/R_{g}}\left(t\right)\] Loin de tout corps, dans l'hypothèse où \(R_{g}\) est galiléen:
\[\overrightarrow{v}_{R_{g}^{\prime}}\left(t\right)=\overrightarrow{V}-\overrightarrow{v}_{ent,R_{g}^{\prime}/R_{g}}\left(M^{t}\right)\] qui a donc un vecteur vitesse constant:
\[\overrightarrow{v}_{R_{g}^{\prime}}=\overrightarrow{V^{\prime}}\] que si:
\[\overrightarrow{v}_{ent,R_{g}^{\prime}/R_{g}}\left(t\right)=\overrightarrow{v}\left(O^{\prime}\right)_{R_{g}}+\overrightarrow{\Omega}_{R_{g}^{\prime}/R{}_{g}}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}\] est indépendante du temps, ce qui exige:
- \(\overrightarrow{\Omega}_{R_{g}^{\prime}/R}{}_{_{g}}\left(t\right)=\overrightarrow{0}\) i.e. \(R_{g}^{\prime}\) est en translation par rapport à \(R_{g}\)
- \(\overrightarrow{v}_{R_{g}}\left(O^{\prime}\right)=\overrightarrow{V}_{0}=V_{0}\overrightarrow{u}_{0}\): la translation de \(R_{g}^{\prime}\) dans \(R_{g}\) est rectiligne (\(\overrightarrow{u}_{0}\) est indépendant du temps)
- La translation de \(R_{g}^{\prime}\) dans \(R_{g}\) est rectiligne uniforme (\(V_{0}\) est indépendante du temps)
\(R_{g}^{\prime}\) est alors bien galiléen puisque, loin de tout corps, la particule a un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse:
\[\overrightarrow{v}_{R_{g}^{\prime}}=\overrightarrow{V^{\prime}}=\overrightarrow{V}-\overrightarrow{V}_{0}\]
qui est donc alors un vecteur constant.
Bilan:
Connaissant un référentiel galiléen \(R_{g}\), l'ensemble des référentiels galiléens est formé de la classe des référentiels en translation rectiligne et uniforme par rapport à \(R_{g}\).
2.1.3 Transformation de Galilée
Soient 2 référentiels galiléens \(R_{g}\) et \(R_{g}^{\prime}\), où \(R_{g}^{\prime}\) est en translation rectiligne et uniforme dans \(R_{g}\) de vitesse:
\[\overrightarrow{v}{}_{R_{g}}\left(O^{\prime t}\right)=\overrightarrow{V}=V\overrightarrow{e}_{x}\] Soit l'événement constitué par le passage d'une particule en un point donné de \(\mathcal{E}_{3}\) à un instant donné, caractérisé dans un référentiel donné par \(1\) coordonnée temporelle et \(3\) coordonnées spatiales.
On peut l'interpréter comme un point dans un espace affine \(\mathcal{E}_{4}\) à \(4\) dimensions.
Cet événement \(\tilde{E}\) a pour coordonnées:
- \(\tilde{E}_{R_{g}}\left[t,x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right]\) dans \(R_{g}\)
- \(\tilde{E}_{R_{g}^{\prime}}\left[t^{\prime},x^{\prime}\left(t^{\prime}\right),y^{\prime}\left(t^{\prime}\right),z^{\prime}\left(t^{\prime}\right)\right]\) dans \(R_{g}^{\prime}\)
La transformation de Galilée relie les coordonnées, vues dans \(R_{g}\) et \(R_{g}^{\prime}\), d'un même événement \(\tilde{E}\), dans le cadre de la mécanique classique.
Dans le cas particulier où \(\overrightarrow{V}=V\overrightarrow{e}_{x}\) est selon \(\overrightarrow{e}_{x}\) et où l'événement \(\tilde{E}\) est vu à l'origine à l'instant origine dans \(R_{g}\) et \(R_{g}^{\prime}\) (on parle de transformation spéciale de Galilée), on a donc:
\[G_{V}:\left\{ \begin{array}{l}t=t^{\prime}\\x\left(t\right)=x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)+Vt^{\prime}\\y\left(t\right)=y^{\prime}\left(t^{\prime}\right)\\z\left(t\right)=z^{\prime}\left(t^{\prime}\right)\end{array}\right.\]
qui s'inverse en:
\[G_{V}^{-1}:\left\{ \begin{array}{l}t^{\prime}=t\\x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=x\left(t\right)-Vt\\y^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=y\left(t\right)\\z^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=z\left(t\right)\end{array}\right.\]
ce qui signifie que:
\[G_{V}^{-1}=G_{-V}\]L'ensemble des transformations spéciales de Galilée forme un sous-groupe du groupe de Galilée des transformations:
\[G_{\overrightarrow{V}}:\left\{ \begin{array}{l}t=t^{\prime}\\x\left(t\right)=x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)+V_{x}t^{\prime}\\y\left(t\right)=y^{\prime}\left(t^{\prime}\right)+V_{y}t^{\prime}\\z\left(t\right)=z^{\prime}\left(t^{\prime}\right)+V_{z}t^{\prime}\end{array}\right.\]
En particulier, l'égalité \(t=t^{\prime}\) souligne que le temps s'écoule de la même manière dans \(2\) référentiels galiléens, ce qui apparaît à tort comme allant de soi, puisque la relativité restreinte d'Einstein sera amenée à remettre en cause ce postulat en précisant comment synchroniser les horloges.
Remarque:
La transformation de Galilée redonne bien la loi de composition des vitesses de \(R_{g}\) vers \(R_{g}^{\prime}\).
Par différenciation, dans le cas de la transformation spéciale, on obtient:
\[\left\{ \begin{array}{l}dt=dt^{\prime}\\dx=dx^{\prime}+Vdt^{\prime}\\dy=dy^{\prime}\\dz=dz^{\prime}\end{array}\right.\]
ce qui entraîne:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=\frac{dx^{\prime}}{dt^{\prime}}+V\\\frac{dy}{dt}=\frac{dy^{\prime}}{dt^{\prime}}\\\frac{dy}{dt}=\frac{dz^{\prime}}{dt^{\prime}}\end{array}\right.\]
qui s'écrit vectoriellement:
\[\overrightarrow{v}_{R_{g}}=\overrightarrow{v}_{R_{g}^{\prime}}+\overrightarrow{V}\]
avec:
\[\overrightarrow{V}=V\overrightarrow{e}_{x}\]
Le résultat se généralise au cas d'un vecteur \(\overrightarrow{V}\) ayant plusieurs composantes.
2.1.4 Relativité restreinte et transformation de Lorentz (complément)
La transformation spéciale de Lorentz, dans le cadre de la relativité restreinte d'Einstein, répond exactement à la même question que précédemment.
\(L_{\beta}:\left\{ \begin{array}{l}ct=\gamma\left[\beta x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)+ct^{\prime}\right]\\x\left(t\right)=\gamma\left[x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)+\beta ct^{\prime}\right]\\y\left(t\right)=y^{\prime}\left(t^{\prime}\right)\\z\left(t\right)=z^{\prime}\left(t^{\prime}\right)\end{array}\right.\)
qui s'inverse en:
\(L_{\beta}^{-1}:\left\{ \begin{array}{l}ct^{\prime}=\gamma\left[-\beta x\left(t\right)+ct\right]\\x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=\gamma\left[x\left(t\right)+\beta ct\right]\\y^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=y\left(t\right)\\z^{\prime}\left(t^{\prime}\right)=z\left(t\right)\end{array}\right.\)
ce qui signifie que:
\[L_{\beta}^{-1}=L_{-\beta}\]
avec:
\[\left\{ \begin{array}{l}\beta=\frac{V}{c}\\\gamma=\left(1-\beta^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}}\end{array}\right.\]où \(c\) est la célérité de la lumière dans le vide.
Ainsi, le temps ne s'écoule plus de la même manière dans tout référentiel galiléen (phénomène perceptible si \(V\) devient comparable à \(c\), qu'elle ne peut dépasser).
On démontre que l'ensemble des transformations de Lorentz forme un groupe dit groupe de Lorentz.
Remarque 1:
Comme attendu, au la transformation de Lorentz redonne bien la transformation de Galilée si \(V\ll c\).
De façon plus précise:
\(L_{\beta=\frac{V}{c}}:\left\{ \begin{array}{l}t=\gamma\left[\frac{V}{c}x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)+t^{\prime}\right]\\x\left(t\right)=\gamma\left[x^{\prime}\left(t^{\prime}\right)+Vt^{\prime}\right]\\y\left(t\right)=y^{\prime}\left(t^{\prime}\right)\\z\left(t\right)=z^{\prime}\left(t^{\prime}\right)\end{array}\right.\)
redonne \(G_{V}\) à la limite où, formellement \(c\longrightarrow+\infty\).
Remarque 2:
Remarquons enfin que l'intervalle d'espace-temps entre 2 événements \(\tilde{E}_{1}\) et \(\tilde{E}_{2}\) défini dans \(R_{g}\) par:
\[s_{12,R_{g}}^{2}=c^{2}\left(t_{2}-t_{1}\right)^{2}-\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}-\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}-\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}\] est donné dans \(R_{g}^{\prime}\) par:
\[s_{12,R_{g}^{\prime}}^{2}=c^{2}\left(t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}\right)^{2}-\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)^{2}-\left(y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}\right)^{2}-\left(z_{2}^{\prime}-z_{1}^{\prime}\right)^{2}\]La transformation de Lorentz est associée à l'invariance de l'intervalle d'espace temps, conservé dans tout référentiel galiléen.:
\[s_{12,R_{g}}^{2}=s_{12,R_{g}^{\prime}}^{2}=s_{12}^{2}\]
Remarque 3:
On peut alors construire un espace affine \(\mathcal{E}_{4}\) dont les points sont appelés événements.
A \(\mathcal{E}_{4}\) est associé à un espace vectoriel \(E_{4}\) dont les éléments sont appelés pseudo-vecteurs.
La conservation de \(s_{12}^{2}\) dans tout référentiel galiléen permet de définir une pseudo-norme associée à un pseudo-vecteur \(X\) dans une base abstraite \(B_{R_{g}}=\left(e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\right)\) associée à un référentiel galiléen \(R_{g}\) donné:
\[X_{R_{g}}=\left(\begin{array}{c}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\]
tel que:
\[X.X=a_{0}^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{3}\]
On peut construire un pseudo-produit scalaire donné \(\forall X,Y\in E_{4}\) par:
\[X.Y=\frac{1}{2}\left[\left(X+Y\right).\left(X+Y\right)-X.X-Y.Y\right]\]
Si, dans le référentiel galiléen \(R_{g}\):
\(X_{R_{g}}=\left(\begin{array}{c}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\) et \(Y_{R_{g}}=\left(\begin{array}{c}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array}\right)\)
alors, en fonctions des coordonnées de \(X\) et \(Y\) dans \(R_{g}\):
\[X.Y=a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}\]
Ainsi, avec l'intervalle de temps \(s_{12}^{2}\) entre les événements \(\tilde{E}_{1},\tilde{E}_{2}\in\mathcal{E}_{4}\) s'interprète comme la quadrinorme du vecteur:
\[X=\tilde{E}_{1}\tilde{E}_{2}\]
de cooedonnées dans la base \(B_{R_{g}}=\left(e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\right)\):
\(X_{R_{g}}=\left(\begin{array}{c}c\left(t_{2}-t_{1}\right)\\x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\\z_{2}-z_{1}\end{array}\right)\)