1.7 Quelques mouvements unidimensionnels
1.7.1 Hypothèse
Considérons une particule de masse \(m\), se déplaçant sur l'axe orienté \(Ox\), dirigé par le vecteur unitaire \(\overrightarrow{e}_{x}\).
On s'intéresse à une particule en mouvement sur l'axe \(Ox\) lié au référentiel R.
On note \(x\left(t\right)\) sa position à l'instant \(t\).
La vitesse s'écrit, dans le référentiel \(R=Oxyz\) lié à \(Ox\):
\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)=\frac{d}{dt}\left[x\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x}\right]_{R}=\dot{x}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x}\] puisque \(\overrightarrow{e}_{x}\) est indépendant du temps dans \(R\).
L'accélération s'écrit, dans le référentiel \(R=Oxyz\) lié à \(Ox\):
\[\overrightarrow{a}{}_{R}\left(t\right)=\frac{d}{dt}\left[\dot{x}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x}\right]_{R}=\ddot{x}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x}\] puisque \(\overrightarrow{e}_{x}\) est indépendant du temps dans \(R\).
1.7.2 Mouvement à vitesse constante \(\overrightarrow{V}\)
Définition:
Le mouvement est dit à accélération constante \(\overrightarrow{V}=V\overrightarrow{e}_{x}\) est un vecteur constant dans \(R\).
Puisque \(\overrightarrow{e}_{x}\) est indépendant du temps, \(V\) est donc indépendante du temps.
Equation horaire:
On a donc:
\[\dot{x}\left(t\right)=\frac{dx}{dt}=V\] qui s'intègre en:
\[\boxed{x\left(t\right)=Vt+C}\] où \(C\) est une constante arbitraire.
Conditions initiales:
En supposant que la particule passe par \(O\) à l'instant \(t=0\):
\[x\left(t\right)=Vt\]
1.7.3 Mouvement à accélération constante \(\overrightarrow{\gamma}\)
Le mouvement est dit à accélération constante \(\overrightarrow{a}=\gamma\overrightarrow{e}_{x}\) est un vecteur constant dans R.
Puisque \(\overrightarrow{e}_{x}\) est indépendant du temps, \(\gamma\) est donc indépendante du temps.
Loi horaire:
On a donc:
\[\ddot{x}\left(t\right)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\gamma\] qui s'intègre en:
\[\dot{x}\left(t\right)=\frac{dx}{dt}=\gamma t+C_{1}^{te}\] puis:
\[\boxed{x\left(t\right)=\frac{1}{2}\gamma t^{2}+C_{1}t+C_{2}}\] où \(C_{1}\) et \(C_{2}\) sont \(2\) constantes arbitraires.
Conditions initiales:
En supposant que la particule passe par \(O\) à l'instant \(t=0\) avec une vitesse nulle :
\[\left\{ \begin{array}{c}{x\left(0\right)=C_{2}=0}\\{\dot{x}\left(0\right)=C_{1}=0}\end{array}\right.\] soit :
\[x\left(t\right)=\frac{1}{2}\gamma t^{2}\]
Remarque :
En éliminant \(t\), on trouve alors la relation remarquable :
\[\boxed{v^{2}=2\gamma x}\]
1.7.4 Oscillateur linéaire harmonique
On appelle mouvement harmonique unidimensionnel de pulsation \(\omega_{0}\) un mouvement régi par l'équation différentielle harmonique :
\[\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0\] La résolution de \(\left(E\right)\), connaissant la position initiale \(x\left(0\right)\) et la vitesse initiale \(\dot{x}\left(0\right)\), admet \(2\) autres formulations équivalentes.
Remarque 1 :
En multipliant \(\left(E\right)\) par \(\dot{x}\left(t\right)\) et en remarquant que :
\[\dot{x}\left(t\right)\ddot{x}\left(t\right)=\dot{x}\left(t\right)\frac{d\dot{x}\left(t\right)}{dt}=\frac{d}{dt}\left[\frac{\dot{x}^{2}\left(t\right)}{2}\right]\] et :
\[x\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)=x\left(t\right)\frac{dx\left(t\right)}{dt}=\frac{d}{dt}\left[\frac{x^{2}\left(t\right)}{2}\right]\]on en déduit que :
\[\frac{d}{dt}\left[\frac{\dot{x}^{2}\left(t\right)}{2}+\omega_{0}^{2}\frac{x^{2}\left(t\right)}{2}\right]\Rightarrow m\frac{\dot{x}^{2}\left(t\right)}{2}+m\omega_{0}^{2}\frac{x^{2}\left(t\right)}{2}=E_{m}=C^{te}\]où \(E_{m}\) est une constante déterminée par les conditions initiales :
\[E_{m}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\left(0\right)+\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}x^{2}\left(0\right)\]Noue verrons que cette manipulation de \(\left(E\right)\) conduit donc à l'équation de conservation de l'énergie, avec :
- L'énergie cinétique \(E_{c}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\)
- L'énergie potentielle \(E_{p}=\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}x^{2}\)
Notons que l'énergie potentielle est minimale en \(x=0\) ce qui signifie qu'elle est associée à une action de rappel en \(x=0\).
Les oscillations harmoniques associées à cette conservation apparaissent donc comme liées à 2 systèmes qui « dialoguent » à la pulsation \(\omega_{0}\), lorsque \(E_{c}\) croît, alors \(E_{p}\) décroît (et réciproquement ), de sorte que \(E_{c}+E_{p}=E_{m}\) reste conservée : ces 2 systèmes « n'ont besoin de personne » pour fonctionner, si on les laisse évoluer librement.
Remarque 2 :
\(\left(E\right)\) peut être converti en système différentiel linéaire à coefficients constants de dimension \(2\) du \(1^{\textrm{er}}\) ordre :
\[\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{x}\\{\dot{x}}\end{array}\right)=\left(A\right)\left(\begin{array}{c}{x}\\{\dot{x}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{0} & {1}\\{-\omega_{0}^{2}} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}\\{\dot{x}}\end{array}\right)\] Formellement, \(\left(A\right)\) étant indépendante du temps :
\[\left(\begin{array}{c}{x\left(t\right)}\\{\dot{x}\left(t\right)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x\left(0\right)}\\{\dot{x}\left(0\right)}\end{array}\right)e^{\left(A\right)t}\] La notion d'exponentielle de matrice est donc ici fort intéressante pour unifier les équations différentielles linéaires homoènes à coefficients constants.
Résolution de (E) dans \(\mathbb{C}\) :
On recherche une solution dans \(\mathbb{C}\) de la forme :
\[\underline{x}\left(t\right)=\underline{C}e^{rt}\] où \(r\in\mathbb{C\textrm{,}}\)et \(\underline{C}\) est une constante dans \(\mathbb{C}\).
Remarquons que cette solution correspond à un vecteur propre de \(\left(A\right)\):
\[\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{x\left(t\right)}\\{\dot{x}\left(t\right)}\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{c}{x\left(t\right)}\\{\dot{x}\left(t\right)}\end{array}\right)\]
qui exige:
\(\left(A\right)\left(\begin{array}{c}{x}\\{\dot{x}}\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{c}{x}\\{\dot{x}}\end{array}\right)\)
\(r\) est alors solution de l'équation caractéristique :
\[r^{2}+\omega_{0}^{2}=0\] ce qui conduit aux \(2\) solutions dans \(\mathbb{C}\) imaginaires pures:
\[\left\{ \begin{array}{l}r_{1}=+j\omega_{0}\\r_{2}=-j\omega_{0}\end{array}\right.\]
La solution générale de \(\left(E\right)\) dans \(\mathbb{C}\) s'écrit, puisque \(r_{1}\) et \(r_{2}\) sont distinctes, comme combinaison linéaire des \(2\) solutions linéairement indépendantes:
\[\boxed{\underline{x}\left(t\right)=\underline{C}_{1}e^{j\omega_{0}t}+\underline{C}_{2}e^{-j\omega_{0}t}}\] où \(\underline{C}_{1}\),\(\underline{C}_{2}\)\(\in\mathbb{C}\).
Par ailleurs, l'interprétation énergétique (système non dissipatif avec rappel) permettait d'attendre des valeurs propres \(r_{1}\) et \(r_{2}\) imaginaires pures (la fonction \(t\longmapsto\underline{x}\left(t\right)\)reste ainsi bornée sans jamais s'anuler identiquement).
Résolution de (E) dans \(\mathbb{R}\) :
La solution générale de \((E)\) dans \(\mathbb{R}\) peut être obtenue à partir de celle dans \(\mathbb{C}\) par :
\[x\left(t\right)=Re\left[\underline{x}\left(t\right)\right]\] que l'on peut écrire:
\[\boxed{x\left(t\right)=A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t}\] où \(A\),\(B\)\(\in\mathbb{R}\) ou bien:
\[\boxed{x\left(t\right)=X_{m}\cos\left(\omega_{0}t+\varphi\right)}\] où :
- \(X_{m}\) (prise positive)est l'amplitude maximale de \(x\left(t\right)\)
- \(\varphi\) est la phase de \(x\left(t\right)\)
On peut introduire la représentation complexe associée (en privilégiant par exemple \(e^{j\omega_{0}t}\)):
\[\underline{x}\left(t\right)=\underline{X}e^{j\omega_{0}t}\] avec :
\[x\left(t\right)=Re\left[\underline{x}\left(t\right)\right]\] ce qui conduit à:
\[\underline{X}=X_{m}e^{j\varphi}=A-jB\] d'où:
\(\left\{ \begin{array}{l}X_{m}=\left|\underline{X}\right|=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\\\varphi=\arg\underline{X}\end{array}\right.\)
avec:
\(\left\{ \begin{array}{lcc}\varphi=-\arctan\frac{B}{A} & \textrm{{\normalcolor si}} & A\neq0\\\varphi=-\frac{\pi}{2} & \textrm{{\normalcolor si}} & A=0\end{array}\right.\)
Conditions initiales:
Suivant la forme privilégiée du résultat, les conditions initiales déterminent 2 constantes réelles (\(A\), \(B\) ou \(X_{m}\), \(\varphi\) ), données par la position et la vitesse initiales.
Exemples fondamentaux:
On est conduit à \(\left(E\right)\) dans les 2 cas suivants:
- Masse reliée à un ressort sans masse, en l'absence de frottement (solide et fluide)
Le ressort exerce la force de rappel:\[\overrightarrow{F}_{r}=-k\left(l-l_{0}\right)\overrightarrow{e}_{x}\]qui tend à ramener la longueur du ressort à sa longueur à vide \(l_{0}\).Le T.R.C. à la masse \(m\) dans le référentiel galiléen \(R=Oxyz\) lié au support conduit, en l'absence de frottement solide avec le sol (la réaction du support est normale) et en l'absence de frottement avec l'air, à:\[m\overrightarrow{a}{}_{R}\left(G\right)=\overrightarrow{F}_{r}+\overrightarrow{P}+\overrightarrow{N}\] soit:\[\left\{ \begin{array}{l}m\frac{dv_{x}}{dt}=\overline{F}_{r}\\0=N-mg\end{array}\right.\]avec:\[x=l-l_{0}\]et:\[v_{x}=\frac{dx}{dt}\]d'où:\[m\ddot{x}=-k\left(l-l_{0}\right)=-kx\] On a donc:\[\boxed{m\ddot{x}+kx=0}\]ce qui conduit à la forme canonique:\(\boxed{\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0}\)avec une pulsation propre:\(\boxed{\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}}\)Notons que l'on a également conservation de l'énergie mécanique:\[E\left(\dot{x},x\right)=E_{c}\left(\dot{x}\right)+E_{p}\left(x\right)\]i.e.:\[E\left[\dot{x}\left(t\right),x\left(t\right)\right]=\mathcal{E}\]où \(\mathcal{E}\) est déterminée par les conditions initiales (C.I.) avec:- Une énergie cinétique associée à la masse de la forme:\[\boxed{E_{c}\left(\dot{x}\right)=\frac{1}{2}mv_{x}^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}}\]
- une énergie potentielle élastique associée au ressort de la forme :\[\boxed{E_{p}\left(x\right)=\frac{1}{2}k\left(l-l_{0}\right)^{2}=\frac{1}{2}kx^{2}}\]
- Circuit \(LC\) (on néglige la résistance du circuit) Considérons le circuit électrocinétique constitué:
- d'un condensateur de capacité \(C\)
- d'une bobine de coefficient d'autoinductance \(L\)
Remarquons que, par définition de \(C\) et \(L\) :\(u_{C}=\frac{q}{C}\) et \(u_{L}=L\frac{di}{dt}\)La loi des mailles conduit à :\[u_{L}+u_{C}=L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0\] La conservation de la charge, par exemple sur l'aramature gauche du condensateur, entraîne:\[\frac{dq}{dt}=i\] (Le signe est validé car cette armature se charge effectivement si \(i>0\) )On a donc:\[\boxed{L\ddot{q}+\frac{q}{C}=0}\]ce qui conduit à la forme canonique:\(\boxed{\ddot{q}+\omega_{0}^{2}q=0}\)avec une pulsation propre:\(\boxed{\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}}\)Notons que l'on a également conservation de l'énergie électromagnétique:\[E\left(\dot{q},q\right)=W_{L}\left(\dot{q}\right)+W_{C}\left(x\right)\]i.e.:\[E\left[\dot{q}\left(t\right),q\left(t\right)\right]=\mathcal{E}\]où \(\mathcal{E}\) est déterminée par les conditions initiales (C.I.) avec:- une énergie magnétique associée à la bobine de la forme:\[\boxed{W_{L}\left(i\right)=\frac{1}{2}Li^{2}=\frac{1}{2}L\dot{q}^{2}}\]
- une énergie électrique associée au condensateur de la forme:\[\boxed{W_{C}\left(q\right)=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}}\]