1.6 Loi de composition des accélérations (classique)
1.6.1 Position du problème
On s'intéresse à une particule située au point \(M=M^{t}\) à l'instant \(t\).
On l'observe:
- dans le référentiel \(R=Oxyz\) (que l'on appellera conventionnellement absolu) et on note \(\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)\) (ou \(\overrightarrow{a}_{R}\left(M^{t}\right)\)) son accélération dans ce référentiel.
- dans le référentiel \(R^{\prime}=O^{\prime}x^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}\) (que l'on appellera conventionnnellement relatif) et on note \(\overrightarrow{a}_{R^{\prime}}\left(t\right)\) (ou \(\overrightarrow{a}_{R^{\prime}}\left(M^{t}\right)\)) son accélération dans ce référentiel.
La loi de composition des accélérations permet d'exprimer "l'accélération absolue" \(\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)\) de la particule en fonction de "l'accélération relative" \(\overrightarrow{a}_{R^{\prime}}\left(t\right)\) de cette même particule, connaissant le mouvement de \(R^{\prime}\) par rapport à \(R\) i.e. par exemple:
- \(\overrightarrow{v}_{R}\left(O^{\prime t}\right)\): vitesse de l'origine de \(R^{\prime}\) dans \(R\)
- \(\overrightarrow{a}_{R}\left(O^{\prime t}\right)\): accélération de l'origine \(O^{\prime}\) de \(R^{\prime}\) dans \(R\)
- \(\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\): vecteur rotation de \(R^{\prime}\) par rapport à \(R\)
1.6.2 Enoncé de la loi de composition des accélérations
La loi de composition des accélérations s'exprime par la formule:
\[\boxed{\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)=\overrightarrow{a}_{R^{\prime}}\left(t\right)+\overrightarrow{a}_{ent,R^{\prime}/R}\left(t\right)+\overrightarrow{a}_{cor,R^{\prime}/R}\left(t\right)}\] où:
- \(\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)\) est l'accélération de la particule mesurée dans \(R\)
- \(\overrightarrow{a}_{R^{\prime}}\left(t\right)\) est l'accélération de la particule mesurée dans \(R^{\prime}\)
- \(\overrightarrow{a}_{ent,R^{\prime}/R}\left(t\right)\) est l'accélération d'entraînement en \(M\) dû au mouvement de \(R^{\prime}\) par rapport à \(R\), qui se calcule par:\[\overrightarrow{a}_{ent,R^{\prime}/R}\left(t\right)=\overrightarrow{a}_{R}\left(\left.I\right|M^{t}\right)\]où \(\overrightarrow{a}_{R}\left(\left.I\right|M^{t}\right)\) est l'accélération dans \(R\) du point \(I\):
- fixe dans \(R^{\prime}\)
- coïncidant avec \(M^{t}\) à l'instant \(t\)
ce qui signifie que \(\overrightarrow{a}_{ent,R^{\prime}/R}\) ne dépend de \(t\) que via \(M^{t}\) (et pas ses dérivées par rapport au temps) - \(\overrightarrow{a}_{cor,R^{\prime}/R}\left(t\right)\) est l'accélération de Coriolis en \(M^{t}\) dû au mouvement de \(R^{\prime}\) par rapport à \(R\), qui se calcule par:\[\overrightarrow{a}_{cor,R^{\prime}/R}\left(t\right)=2\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\left(t\right)\]ce qui signifie que \(\overrightarrow{a}_{ent,R^{\prime}/R}\) dépend de \(t\) via:
- la vitesse de \(M^{t}\) dans \(R^{\prime}\)
- le vecteur rotation \(\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\) de \(R^{\prime}\) par rapport à \(R\)
Remarque 1:
Dans les cas les plus simples en particulier, la définition ci-dessus suffit à exprimer sans calcul l'accélération d'entraînement, l'expression de l'accélération de Coriolis devant être connue par coeur.
Remarque 2:
Par comparaison à la loi de composition des vitesses, la loi de composition des accélérations change de structure: le terme de Coriolis \(\overrightarrow{a}_{cor,R^{\prime}/R}\left(t\right)\) est un terme supplémentaire, que l'on a ainsi appelé accélération complémentaire.
1.6.3 Expression de l'accélération d'entraînement
On peut donc exprimer l'accélération d'entraînement, puisque, \(O\) étant par définition fixe dans \(R\) et en utilisant le calcul précédent:
\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(I\right)=\overrightarrow{v}{}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{O^{\prime}I}\]
Il est très important de ne pas reporter encore que \(I\) coincide avec \(M^{t}\) à l'instant \(t\), puisqu'on va chercher la dérivée de \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(I\right)\) dans \(R\).
On en déduit que, en notations condensées
\[\overrightarrow{a}{}_{R}\left(I\right)=\overrightarrow{a}{}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\left.\frac{d\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}}{dt}\right|_{R}\wedge\overrightarrow{O^{\prime}I}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\left.\frac{d\overrightarrow{O^{\prime}I}}{dt}\right|_{R}\]
Puisque \(\overrightarrow{O^{\prime}I}\) est fixe dans \(R^{\prime}\), la formule de dérivation vectorielle conduit à:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{O^{\prime}I}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\overrightarrow{O^{\prime}I}\]
donc:
\[\overrightarrow{a}{}_{R}\left(I\right)=\overrightarrow{a}{}_{R}\left(O^{\prime}I\right)+\left.\frac{d\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}}{dt}\right|_{R}\wedge\overrightarrow{O^{\prime}I}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\left(\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\overrightarrow{O^{\prime}I}\right)\]
En définitive, en particularisant le résultat au point \(\left.I\right|M^{t}\):
\[\boxed{\overrightarrow{a}_{ent,R^{\prime}/R}\left(t\right)=\overrightarrow{a}{}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\left.\frac{d\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}}{dt}\right|_{R}\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\left(\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}\right)}\]
1.6.4 Preuve
Partons de la définition de \(\overrightarrow{a}_{R}\left(M^{t}\right)\) (\(O\) étant fixe dans \(R\)) et utilisons la formule de composition des vitesses précédente:
\[\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)=\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\left(t\right)+\overrightarrow{v}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}\] d'où:
\[\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}+\overrightarrow{a}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\left.\frac{d\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\left.\frac{d\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}}{dt}\right|_{R}\] A l'aide de la formule de dérivation vectorielle:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\left(t\right)}{dt}\right|_{R^{\prime}}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\left(t\right)=\overrightarrow{a}_{R^{\prime}}\left(t\right)+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\left(t\right)\] Par ailleurs:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\overrightarrow{OM^{t}}}{dt}\right|_{R}-\left.\frac{d\overrightarrow{OO^{\prime}}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)-\overrightarrow{v}_{R}\left(O^{\prime}\right)\]
avec, en utilisant la loi de composition des vitesses:
\[\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)=\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\left(t\right)+\overrightarrow{v}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}\]
En notations condensées (puisque les dérivations par rapport au temps ont toutes été effectuées):
\[\overrightarrow{a}_{R}=\overrightarrow{a}_{R^{\prime}}+\overrightarrow{a}_{ent,R^{\prime}/R}+\overrightarrow{a}_{cor,R^{\prime}/R}\] avec:
- \(\overrightarrow{a}_{ent,R^{\prime}/R}=\overrightarrow{a}{}_{R}\left(\left.I\right|M^{t}\right)=\overrightarrow{a}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\left.\frac{d\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}}{dt}\right|_{R}\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\left[\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}\right]\)
- \(\overrightarrow{a}_{cor,R^{\prime}/R}=2\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\)