1.8 Quelques mouvements bidimensionnels
1.8.1 Mouvement circulaire sur \(C_{O,R}\) dans \(R\)
Considérons une particule se déplaçant sur un cercle \(C_{O,R}\) de centre \(O\) et de rayon \(R\) orienté, localisé dans le plan \(Oxy.\)
Le rayon vecteur \(\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{OM}\left(t\right)\) s'écrit donc dans ce cas, en coordonnées polaires dans \(Oxy\):
\[\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{OM}\left(t\right)=R\overrightarrow{e}_{r}\left(\theta_{t}\right)\] La trajectoire est donc circulaire de centre \(O\) et de rayon \(R\).
La vitesse s'écrit, dans le référentiel \(R=Oxyz\) lié à \(C_{O,R}\):
\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\left[R\overrightarrow{e}_{r}\left(\theta_{t}\right)\right]}{dt}\right|_{R}=R\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{r}\left(\theta_{t}\right)}{dt}\right|_{R}=R\frac{d\overrightarrow{e}_{r}\left(\theta\right)}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=R\dot{\varphi}\overrightarrow{e}_{\theta}\left(\theta\right)\] puisque le rayon \(R\) est indépendant du temps dans le référentiel d'étude.
L'accélération s'écrit, dans le référentiel \(R=Oxyz\) lié à \(Ox\):
\[\overrightarrow{a}\left(t\right)_{R}=\frac{d}{dt}\left[R\dot{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}\left(\theta_{t}\right)\right]_{R}=R\left.\ddot{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}\left(\theta_{t}\right)+R\dot{\theta}\frac{d\overrightarrow{e}_{\theta}\left(\theta_{t}\right)}{dt}\right|_{R}=R\dot{\theta}\frac{d\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(\theta\right)}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}+R\ddot{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}\left(\theta_{t}\right)\] soit:
\[\overrightarrow{a}\left(t\right)_{R}=-R\dot{\theta}^{2}\overrightarrow{e}_{r}\left(\varphi_{t}\right)+R\ddot{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}\left(\varphi_{t}\right)\] puisque le rayon \(R\) est indépendant du temps dans le référentiel d'étude.
1.8.2 Mouvement circulaire uniforme sur \(C_{O}\) dans \(\mathbb{R}\)
Dans le cas particulier d'un mouvement circulaire uniforme
\(\left\Vert \overrightarrow{v}_{R}\right\Vert =V\) est indépendante du temps
ce qui conduit à:
\(\dot{\theta}=\frac{V}{R}=\omega\) est indépendante du temps
On obtient donc une accélération non nulle purement normale:
\[\overrightarrow{a}\left(t\right)_{R}=\frac{d}{dt}\left[V\overrightarrow{e}_{\theta}\left(\theta_{t}\right)\right]_{R}=V\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\theta}\left(\theta_{t}\right)}{dt}\right|_{R}=V\frac{d\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(\theta\right)}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\] soit:
\[\overrightarrow{a}\left(t\right)_{R}=-R\omega^{2}\overrightarrow{e}_{r}\left(\theta_{t}\right)=-\frac{V^{2}}{R}\overrightarrow{e}_{r}\left(\theta_{t}\right)\] et l'on déduit par ailleurs que, si la particule est en \(M_{0}\left(x_{0}=R,y_{0}=0\right)\) à l'instant \(t=0\):
\[\overrightarrow{OM}\left(t\right)=R\cos\omega t\overrightarrow{e}_{x}+R\sin\omega t\overrightarrow{e}_{x}\]
Remarque:
Ces résultats se retrouvent immédiatement dans le repère de Frénet, puisque \(C_{O,R}\) a en tout point pour centre de courbure \(O\) et pour rayon de courbure \(R\).
1.8.3 Superposition de \(2\) mouvements harmoniques cohérents de même pulsation
Considérons le mouvement d'une particule donné paramétriquement par :
\[\left\{ \begin{array}{l}x\left(t\right)=a\cos\omega t\\y\left(t\right)=b\cos\left(\omega t+\varphi\right)\end{array}\right.\]
où \(a\) et \(b\) sont positifs.
\(\varphi\), défini modulo \(2\pi\), représente le déphasage de \(y\) par rapport à \(x\).
Nous lui associerons le système complexifié:
\[\left\{ \begin{array}{l}\underline{x}\left(t\right)=ae^{j\omega t}\\\underline{y}\left(t\right)=be^{j\varphi}e^{j\omega t}\end{array}\right.\]
Application :
Lorsqu'un circuit linéaire de type quadripôle est étudié en régime forcé à la pulsation \(\omega\), si l'on envoie:
- la tension d'entrée \(v_{e}\left(t\right)\) sur l'entrée \(X\) de l'oscilloscope
- la tension d'entrée \(v_{s}\left(t\right)\) sur l'entrée \(Y\) de l'oscilloscope
le déplacement du spot est précisément donné par des équations paramétriques du type précédent.
Il est alors utile de pouvoir lire les valeurs de \(a\), \(b\) et \(\varphi\) dans différents cas, par observation de la courbe obtenue sur l'écran de l'oscilloscope (en mode \(XY\) ).
Nous allons montrer que le mouvement est elliptique dans le cas général, mais il est intéressant d'envisager tout d'abord des cas particuliers simples.
- \(\varphi=0\) (i.e. \(y\) est en phase avec \(x\))On a alors:\(\left\{ \begin{array}{l}x\left(t\right)=a\cos\omega t\\y\left(t\right)=b\cos\omega t\end{array}\right.\)ou \(\left\{ \begin{array}{l}\underline{x}\left(t\right)=ae^{j\omega t}\\\underline{y}\left(t\right)=be^{j\omega t}\end{array}\right.\)donc, si \(a>0\), \(\frac{y\left(t\right)}{x\left(t\right)}=\tan\alpha=\frac{b}{a}\) est indépendante du temps (ou \(\frac{\underline{y}\left(t\right)}{\underline{x}\left(t\right)}=\tan\alpha=\frac{b}{a}\) est de phase nulle).La trajectoire est rectiligne et fait algébriquement un angle \(+\alpha\) avec \(Ox\).
- \(\varphi=\pi\) (i.e. \(y\) est en opposition de phase avec \(x\))On a alors:\(\left\{ \begin{array}{l}x\left(t\right)=a\cos\omega t\\y\left(t\right)=-b\cos\omega t\end{array}\right.\)ou \(\left\{ \begin{array}{l}\underline{x}\left(t\right)=ae^{j\omega t}\\\underline{y}\left(t\right)=-be^{j\omega t}\end{array}\right.\)donc, si \(a>0\), \(\frac{y\left(t\right)}{x\left(t\right)}=-\tan\alpha=-\frac{b}{a}\) est indépendante du temps (ou \(\frac{\underline{y}\left(t\right)}{\underline{x}\left(t\right)}=\tan\alpha e^{j\pi}=\frac{b}{a}e^{j\pi}\) est de phase égale à \(\pi\) ).La trajectoire est rectiligne et fait algébriquement un angle \(-\alpha\) avec \(Ox\).
- \(\varphi=-\frac{\pi}{2}\) (ou \(+\frac{3\pi}{2}\)) (i.e. \(y\) est en quadrature retard avec \(x\))On a alors:\(\left\{ \begin{array}{l}x\left(t\right)=a\cos\omega t\\y\left(t\right)=b\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)=b\textrm{sin}\omega t\end{array}\right.\)ou \(\left\{ \begin{array}{l}\underline{x}\left(t\right)=ae^{j\omega t}\\\underline{y}\left(t\right)=be^{j\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)}=-jbe^{j\omega t}\end{array}\right.\)donc, si \(a>0\), \(\frac{y\left(t\right)}{x\left(t\right)}\) n'est pas indépendante du temps (ou \(\frac{\underline{y}\left(t\right)}{\underline{x}\left(t\right)}=-j\tan\alpha=\frac{b}{a}e^{-j\frac{\pi}{2}}\) est de phase égale à \(-\frac{\pi}{2}\) ).La trajectoire est elliptique gauche (i.e. décrite dans le sens \(+\)) d'axes \(Ox\) et \(Oy\):
- \(\varphi=+\frac{\pi}{2}\) (ou \(-\frac{3\pi}{2}\)) (i.e. \(y\) est en quadrature avance avec \(x\))On a alors:\(\left\{ \begin{array}{l}x\left(t\right)=a\cos\omega t\\y\left(t\right)=b\cos\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)=-b\textrm{sin}\omega t\end{array}\right.\)ou \(\left\{ \begin{array}{l}\underline{x}\left(t\right)=ae^{j\omega t}\\\underline{y}\left(t\right)=be^{j\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)}=+jbe^{j\omega t}\end{array}\right.\)donc, si \(a>0\), \(\frac{y\left(t\right)}{x\left(t\right)}\) n'est pas indépendante du temps (ou \(\frac{\underline{y}\left(t\right)}{\underline{x}\left(t\right)}=+j\tan\alpha=\frac{b}{a}e^{+j\frac{\pi}{2}}\) est de phase égale à \(+\frac{\pi}{2}\) ).La trajectoire est elliptique droite (i.e. décrite dans le sens opposé à \(+\)) d'axes \(Ox\) et \(Oy\):
- dans le cas général où \(\varphi\) est quelconque:On a alors:\(\left\{ \begin{array}{l}x\left(t\right)=a\cos\omega t\\y\left(t\right)=b\cos\left(\omega t+\varphi\right)\end{array}\right.\)ou \(\left\{ \begin{array}{l}\underline{x}\left(t\right)=ae^{j\omega t}\\\underline{y}\left(t\right)=be^{j\left(\omega t+\varphi\right)}\end{array}\right.\)le mouvement est alors elliptique.Preuve:Plaçons-nous dans le cas où \(a\) et \(b\) sont strictement positifs et \(\varphi\notin\left\{ 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\} \).Il suffit de montrer qu'il existe un système de coordonnées \(\left(Ox^{\prime},Oy^{\prime}\right)\) se déduisant du système initial \(\left(Ox,Oy\right)\) par une rotation d'angle \(\chi\) pour lequel la trajectoire est elliptique d'axes \(Ox^{\prime}\) et \(Oy^{\prime}\).On pose donc:\[\chi=\left(Ox,Ox^{\prime}\right)\]On obtient alors:
Remarquons, s'il est vraiment nécessaire de le réétablir, que:\[\left\{ \begin{array}{l}x^{\prime}=\overrightarrow{e}_{x^{\prime}}.\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{e}_{x^{\prime}}.\overrightarrow{e}_{x}+y\overrightarrow{e}_{x^{\prime}}.\overrightarrow{e}_{y}=x\cos\chi+y\cos\left(\frac{\pi}{2}-\chi\right)=x\cos\chi+y\sin\chi\\y^{\prime}=\overrightarrow{e}_{y^{\prime}}.\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{e}_{y^{\prime}}.\overrightarrow{e}_{x}+y\overrightarrow{e}_{y^{\prime}}.\overrightarrow{e}_{y}=x\cos\left(\frac{\pi}{2}+\chi\right)+y\cos\chi=-x\sin\chi+y\cos\chi\end{array}\right.\]que l'on peut écrire sous la forme matricielle bien connue:\(\left(\begin{array}{c}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{array}\right)=\left(P\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\) sachant que \(\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(P\right)\left(\begin{array}{c}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{array}\right)\)où \(\left(P\right)\) est la matrice de passage (donnant les «anciennes» coordonnées en fonction des «nouvelles» ).En représentation complexe:\[\left\{ \begin{array}{l}\underline{x^{\prime}}=\underline{x}\cos\chi+\underline{y}\sin\chi=\left|\underline{x^{\prime}}\right|e^{j\varphi_{x'}}e^{j\omega t}=\left(a\cos\chi+b\sin\chi e^{j\varphi}\right)e^{j\omega t}\\\underline{y^{\prime}}=-\underline{x}\sin\chi+\underline{y}\cos\chi=\left|\underline{y^{\prime}}\right|e^{j\varphi_{y'}}e^{j\omega t}=\left(-a\sin\chi+b\cos\chi e^{j\varphi}\right)\end{array}\right.\]avec :\[\left\{ \begin{array}{l}\tan\varphi_{x^{\prime}}=\frac{b\sin\chi\sin\varphi}{a\cos\chi+b\sin\chi\cos\varphi}\\\tan\varphi_{y^{\prime}}=\frac{b\cos\chi\sin\varphi}{-a\sin\chi+b\cos\chi\cos\varphi}\end{array}\right.\]En posant \(\psi=\varphi_{y^{\prime}}-\varphi_{x^{\prime}}\), qui est le déphasage de \(\underline{y^{\prime}}\) par rapport à \(\underline{x^{\prime}}\):\[\tan\psi=\frac{\tan\varphi_{y^{\prime}}-\tan\varphi_{x^{\prime}}}{1+\tan\varphi_{x^{\prime}}\tan\varphi_{y^{\prime}}}\] C'est la représentation paramétrique d'une ellipse d'axes \(Ox^{\prime}\) et \(Oy^{\prime}\) en choisissant \(\chi\) de manière à ce que:\[\psi=\arg\left[\frac{\underline{y^{\prime}}}{\underline{x^{\prime}}}\right]=\frac{\pi}{2}{\rm \;}\left[\pi\right]\] ce qui conduit à \(\chi\) tel que:\(\frac{b\cos\chi\sin\varphi}{-a\sin\chi+b\cos\chi\cos\varphi}\frac{b\sin\chi\sin\varphi}{a\cos\chi+b\sin\chi\cos\varphi}=-1\) ou \(\frac{b^{2}\sin2\chi\sin^{2}\varphi}{\left(a^{2}-b^{2}\cos^{2}\varphi\right)\sin2\chi+2ab\cos\varphi}=1\)Tous calculs faits, on en déduit:\[\boxed{\sin2\chi=-\frac{2ab\cos\varphi}{a^{2}-b^{2}}}\] Il n'est nullement utile d'essayer de retenir cette formule.
Mesure de \(\varphi\):
En revanche, la mesure de \(\varphi\), est intéressante.
- Plaçons-nous en \(A_{1}\left(a,y_{1}\right)\) où l'on passe à l'instant \(t=0\) (modulo \(T\))puisque \(x\left(t\right)=a\cos\omega t\) avec \(a>0\). On obtient alors \(y_{1}=y\left(0\right)=b\cos\varphi\)
- Plaçons-nous en \(B_{1}\left(x_{1},b\right)\) où l'on passe à l'instant \(\tilde{t}=T-\frac{\varphi}{\omega}\) (modulo \(T\)) puisque \(y\left(t\right)=b\cos\left(\omega t+\varphi\right)\) avec \(b>0\). On obtient alors \(x_{1}=x\left(\tilde{t}\right)=a\cos\varphi\)
On en déduit donc, \(a\) et \(b\) étant mesurés facilement par les points \(A\left(a,0\right)\) et \(B\left(0,b\right)\):
\[\cos\varphi=\frac{x_{1}}{a}=\frac{y_{1}}{b}\]
Remarque 1:
Comme attendu, \(A_{1}\) et \(B_{1}\) se confondent si \(\varphi=0\) ou \(\varphi=\pi\): les ellipses dégénèrent alors en droites.
Si \(\varphi=+\frac{\pi}{2}\) ou \(\varphi=-\frac{\pi}{2}\), \(A_{1}\in Ox\) et \(B_{1}\in Oy\): les ellipses ont leurs axes selon \(Ox\) et \(Oy\).
Remarque 2:
L'analyse précédente ne permet pas de déterminer \(\varphi\) mais seulement \(\cos\varphi\) .
Pour ce faire, il est nécessaire de connaître le sens de parcours (à l'oscilloscope, ce n'est à la rigueur possible en mode \(XY\) qu'à basse fréquence ).
Ainsi, si l'ellipse est parcourue par exemple dans le sens \(+\), on sait que \(\varphi\) appartient à l'intervalle \(\left[\pi,2\pi\right[\).
En effet à \(t=0\), le point de fonctionnement est en \(M_{0}\left(0,-b\sin\varphi\right)\) et, à un instant \(t=\tau\ll\frac{T}{4}\) plus tard, il est en \(M_{\tau}\left[a\cos\left(\omega\tau\right)\cong a,b\cos\left(\omega\tau+\varphi\right)\cong b\cos\varphi-b\omega\tau\sin\varphi\right]\).
Ceci signifie bien que \(\varphi\in\left[\pi,2\pi\right[\) puisque l'ordonnée que de \(M_{\tau}\) n'a pu qu'augmenter depuis \(M_{0}\) si le sens de parcours est le sens \(+\).