1.5 Loi de composition des vitesses (classique)
1.5.1 Position du problème
On s'intéresse à une particule située au point \(M=M^{t}\) à l'instant \(t\).
On l'observe:
- dans le référentiel \(R=Oxyz\) (que l'on appellera conventionnellement absolu) et on note \(\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)\) (ou \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(M^{t}\right)\)) sa vitesse dans ce référentiel
- dans le référentiel \(R^{\prime}=O^{\prime}x^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}\) (que l'on appellera conventionnellement relatif) et on note \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)\) (ou \(\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\left(M^{t}\right)\)) sa vitesse dans ce référentiel.
La loi de composition des vitesses permet d'exprimer la vitesse absolue \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)\) de la particule en fonction de la vitesse relative \(\overrightarrow{v}{}_{R^{\prime}}\left(t\right)\) de cette même particule, connaissant le mouvement de \(R^{\prime}\) par rapport à \(R\) i.e. par exemple:
- \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(O^{\prime t}\right)\): vitesse de l'origine de \(R^{\prime}\) dans \(R\)
- \(\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\): vecteur rotation de \(R^{\prime}\) par rapport à \(R\)
1.5.2 Enoncé de la loi de composition des vitesses
La loi de composition des vitesses s'exprime par la formule:
\[\boxed{\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)=\overrightarrow{v}{}_{R^{\prime}}\left(t\right)+\overrightarrow{v}_{ent,R^{\prime}/R}\left(t\right)}\] où:
- \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)\) est la vitesse de la particule située au point \(M^{t}\) à l'instant \(t\), mesurée dans \(R\)
- \(\overrightarrow{v}{}_{R^{\prime}}\left(t\right)\) est la vitesse de la particule située au point \(M^{t}\) à l'instant \(t\), mesurée dans \(R^{\prime}\)
- \(\overrightarrow{v}_{ent,R^{\prime}/R}\left(t\right)\) est la vitesse d'entraînement en \(M=M^{t}\) dû au mouvement de \(R^{\prime}\) par rapport à \(R\), qui se calcule par:\[\overrightarrow{v}_{ent,R^{\prime}/R}\left(t\right)=\overrightarrow{v}_{R}\left(\left.I\right|M^{t}\right)\]où \(\overrightarrow{v}_{R}\left(\left.I\right|M^{t}\right)\) est la vitesse dans \(R\) du point \(I\):
- fixe dans \(R^{\prime}\)
- coïncidant avec \(M^{t}\) à l'instant \(t\)
Remarque:
Dans les cas les plus simples en particulier, la définition ci-dessus suffit à exprimer sans calcul la vitesse d'entraînement.
1.5.3 Expression de la vitesse d'entraînement
On peut donc exprimer la vitesse d'entraînement, puisque, \(O\) étant par définition fixe dans \(R\) et en utilisant la formule de dérivation vectorielle:
\[\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OO^{\prime}}+\overrightarrow{O^{\prime}I}\]
donc, en notations condensées:
\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(I\right)=\overrightarrow{v}{}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\left.\frac{d\overrightarrow{O^{\prime}I}}{dt}\right|_{R}\]
soit:
\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(I\right)=\overrightarrow{v}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\left.\frac{d\overrightarrow{O^{\prime}I}}{dt}\right|_{R^{\prime}}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{O^{\prime}I}\]
Puisque \(O^{\prime}\) et \(I\) sont par définition fixes dans \(R^{\prime}\)\(,\overrightarrow{O^{\prime}I}\) est fixe dans \(R^{\prime}\) et donc, sachant que \(I\) coincide avec \(M^{t}\) à l'instant \(t\):
\[\boxed{\overrightarrow{v}_{ent,R^{\prime}/R}\left(t\right)=\overrightarrow{v}{}_{R}\left(\left.I\right|M^{t}\right)=\overrightarrow{v}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}}\]
1.5.4 Preuve
Partons de la définition de \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(M^{t}\right)\) (\(O\) étant fixe dans \(R\))et faisons apparaître \(O^{\prime}\):
\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{OM^{t}}}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\overrightarrow{OO^{\prime}}}{dt}\right|_{R}+\left.\frac{d\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}}{dt}\right|_{R}\] A l'aide de la formule de dérivation vectorielle:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}}{dt}\right|_{R^{\prime}}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}\] \(O\) étant fixe dans \(R\):
\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(O^{\prime}\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{OO^{\prime}}}{dt}\right|_{R}\]
\(O^{\prime}\) étant fixe dans \(R^{\prime}\):
\[\left.\frac{d\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}}{dt}\right|_{R^{\prime}}=\overrightarrow{v}_{R^{\prime}}\left(t\right)\]En notations condensées (puisque les dérivations par rapport au temps ont toutes été effectuées):
\[\overrightarrow{v}{}_{R}=\overrightarrow{v}{}_{R^{\prime}}+\overrightarrow{v}_{ent,R^{\prime}/R}\] avec:
\[\overrightarrow{v}_{ent,R^{\prime}/R}=\overrightarrow{v}{}_{R}\left(\left.I\right|M^{t}\right)=\overrightarrow{v}_{R}\left(O^{\prime}\right)+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\overrightarrow{O^{\prime}M^{t}}\]