1.4 Dimensions et unités du système international (S.I.)
1.4.1 Notion de dimension \(\left[G\right]\) d'une grandeur physique \(G\)
Toute grandeur physique \(G\) possède en général une dimension notée \(\left[G\right]\), qui en précise la nature.
Par construction, si \(G_{1}\) et \(G_{2}\) sont \(2\) grandeurs physiques et qu'une formule mathématique intervenir leur produit, alors:
\[\left[G_{1}G_{2}\right]=\left[G_{1}\right]\left[G_{2}\right]\]
Exemples:
- Une distance parcourue \(d\) est une longueur.
- Un angle \(\theta\) est un nombre, sa définition fondamentale fait intervenir le rapport de 2 longueurs
- Une vitesse \(v\) est le rapport d'une longueur divisée par un temps
- Une accélération \(a\) est le rapport d'une longueur divisée le carré d'un temps
- Un courant électrique \(i\) est le rapport d'une charge par un temps
1.4.2 Dimensions fondamentales
Un système dimensionnel est fondé sur des dimensions fondamentales qui sont:
- indépendantes (aucune d'entre elles n'est le produit de puissance des autres)
- génératrices (toute grandeur physique est le produit de puissance de celles-ci)
qui constitue donc une base dimensionnelle.
Nous adopterons les dimensions fondamentales suivantes:
- Une longueur notée \(L\)
- Une masse notée \(M\)
- Un temps noté \(T\)
- Une charge notée \(Q\)
A l'exception notable des grandeurs directement liées à la température, toute grandeur physique \(G\) admet une dimension \(\left[G\right]\) qui s'exprime donc de manière unique sous la forme d'un produit de puissances des dimensions fondamentales:
\[\left[G\right]=L^{\alpha}M^{\beta}T^{\gamma}Q^{\delta}\] où \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) sont des nombres non tous nuls.
\(G\) est dite sans dimension si \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) sont tous nuls ; on notera :
\[\left[G\right]=1\] C'est notamment le cas de tout nombre, en facteur multiplicatif de l'expression de \(G\).
Exemples:
On peut indiquer formellement la dimension des grandeurs physiques \(d\), \(v\) et \(i\) précédentes, à l'aide des dimensions fondamentales précédentes, sous la forme d'un produit de puissances:
\[\left[d\right]=L,\left[\theta\right]=1,\left[v\right]=LT^{-1},\left[a\right]=LT^{-2},\left[i\right]=QT^{-1}\]
1.4.3 Homogénéité des équations liant des grandeurs physiques
La définition des grandeurs physiques ou les propriétés les reliant entre elles, à l'intérieur d'une théorie, s'expriment par des formules mathématiques.
Par exemple, si lors de la résolution d'un problème, on propose d'écrire \(Y\) en fonction des grandeurs \(X\) et \(Z\) sous la forme :
\[Y^{2}=2ZX\left(E\right)\] une telle relation n'est correcte que si, nécessairement, elle est dimensionnellement correcte.
Autrement dit, elle exige:
\[\left[Y\right]^{2}=\left[2ZX\right]=\left[2\right]\left[Z\right]\left[X\right]=\left[Z\right]\left[X\right]\] Si tel est le cas, l'équation \(\left(E\right)\) est dite homogène (i.e. dimensionnellement exacte )
Dans le cas contraire, elle est inhomogène.
Conséquence:
Suppsons qu'une grandeur physique \(Z\) s'exprime en fonction des grandeurs physiques \(X\) et \(Y\) sous la forme :
\[Z=kX^{a}Y^{b}\] où \(k\), \(a\) et \(b\) sont des nombres.
Alors, pour être homogène, il est nécessaire que:
\[\left[Z\right]=\left[X\right]^{a}\left[Y\right]^{b}\]
Remarque fondamentale:
Toute équation \(\left(E\right)\) inhomogène est nécessairement fausse: un avertissement qu'il vaut mieux toujours garder à l'esprit.
Il faut toujours vérifier l'homogénéité des formules proposées ou utilisées.
Exemple:
Lors d'une chute libre, en négligeant tout frottement, il apparaît que la vitesse acquise \(v\) après une hauteur \(h\) de chute s'exprime en fonction de l'accélération de la pesanteur \(g\), à vitesse initiale nulle, par la formule:
\[v^{2}=2gh\left(E\right)\] Cette formule est bien homogène car \(\left[v\right]=LT^{-1}\) (\(v\) est une vitesse ), \(\left[h\right]=L\) (\(h\) est une longueur ), \(\left[g\right]=LT^{-2}\) (\(g\) est une accélération ).
On a bien :
\(\left[v^{2}\right]=\left[v\right]^{2}=\left(LT^{-1}\right)^{2}=L^{2}T^{-2}\) égal à \(\left[2gh\right]=\left[g\right]\left[h\right]=\left(LT^{-2}\right)L=L^{2}T^{-2}\)
Remarquons que le facteur numérique \(\frac{1}{2}\) ne joue aucun rôle dans l'homogénïté de \(\left(E\right)\), puisque tout facteur numérique multiplicatif dans \(\left(E\right)\) est sans dimension.
En revanche, le nombre \(2\) déterminant la puissance de \(v\), joue un rôle fondamental dans l'homogénïté de \(\left(E\right)\).
1.4.4 Systèmes d'unités associées à un ensemble de dimensions fondamentales.
Une grandeur physique \(G\), de dimension donnée \(\left[G\right]\), est interprétée grâce à des mesures.
Le résultat d'une mesure est la donnée d'un nombre \(g\) dans un système d'unités donné, au cours d'une expérience dont les conditions de réalisation sont précisées, et qui fournit l'état de \(G\) lors de la mesure.
Plusieurs unités peuvent servir à décrire une même grandeur physique : on privilégiera telle ou telle unité suivant le pays où l'on se trouve, l'usage, les ordres de grandeur mis en jeu, ( )
Des correspondances (linéaires ou non)permettent de changer d'unité et donc d'affecter à une même mesure un couple (résultat,unité ) : chacun d'eux traduit de manière équivalente l'état de la grandeur \(G\) retourné par la mesure.
Exemple :
Si la mesure d'une chute libre a fourni une vitesse de \(1{\rm 0\;}m.s^{-1}\), on peut équivalemment affirmer (aux erreurs d'arrondi près) qu'elle vaut \(0{\rm .01\;k}m.s^{-1}\) ou \(3{\rm 6\;k}m.h^{-1}\), suivant les unités de longueur et de temps adoptées.
1.4.5 Systèmes international d'unités (S.I. )
Le système international d'unités (S.I.) a adopté:
- Le mètre (\(m\)) comme unité de longueur
- Le kilogramme (\(kg\)) comme unité de masse
- La seconde (\(s\)) comme unité de temps
- L'ampère (\(A\)) comme unité d'intensité
Ce système d'unités est donc encore désigné par \(MKSA\).
1.4.6 Unités naturelles dans un système donné et nom d'usage
Par analyse dimensionnelle, on peut chercher à donner l'unité d'une grandeur physique, construite à partir des unités associées aux dimensions fondamentales.
Certaines de ces unités ont, par commodité, un nom d'usage.
Exemples:
Dans le S.I., on peut former les unités naturelles suivantes, munies d'un nom d'usage:
- Une force, de dimension \(MLT^{-2}\), s'exprime donc en \(kgms^{-2}\), appelée Newton (\(N\)).Donc \(1{\rm \;}N=1{\rm \;}kgms^{-2}\)
- Une énergie, de dimension \(ML^{2}T^{-2}\), s'exprime donc en \(kgm^{2}s^{-2}\), appelée Joule (\(J\)).Donc \(1{\rm \;}J=1{\rm \;}Nm=1{\rm \;}kgm^{2}s^{-2}\)
- Une puissance, de dimension \(ML^{2}T^{-3}\), s'exprime donc en \(kgm^{2}s^{-3}\), appelée Watt (\(W\))Donc \(1{\rm \;}W=1{\rm \;}Js^{-1}=1{\rm \;}kgm^{2}s^{-3}\)
1.4.7 Analyse dimensionnelle: notation admise
Comme on l'a vu, il ne faut pas confondre les notions de dimension et d'unité.
A une dimension donnée peut être attachée différentes unités.
En revanche, un système d'unités donné, une fois défini, désigne sans ambiguité la dimension des grandeurs physiques auquel il se réfère.
Exemple:
Le mètre (\(m\)), tout comme le \(cm\), le \(km\), l'unité astronomique (\(ua\)), l'année lumière (\(al\)) sont toutes des unités de longueur (de dimension \(L\)).
A la rigueur, on pourra donc tolérer, dans un système d'unités donné, la mention de l'unité plutôt que celle de la dimension qui lui est attachée, dès lors qu'il n'y a aucune ambiguité.
Par exemple, dans le S.I., on pourra admettre la notation:
\[\left[d\right]=m,\left[v\right]=ms^{-1},\left[a\right]=ms^{-2},\left[i\right]=Cs^{-1}\]