1.3 Vitesse et accélération dans \(R\)
1.3.1 Définitions
Considérons un point matériel localisé en \(M=M^{t}\) à l'instant \(t\) dans \(R\).
Etudions son mouvement dans le référentiel \(R\) lié au repère \(R=Oxyz\).
- On appelle rayon vecteur \(\overrightarrow{r}\left(t\right)\) mené à la particule dans \(R\):\[\boxed{\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{OM^{t}}}\]
- On appelle vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\):\[\boxed{\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\overrightarrow{OM^{t}}}{dt}\right|_{R}}\]
- On appelle vecteur accélération \(\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\):
\[\boxed{\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d^{2}\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt^{2}}\right|_{R}=\left.\frac{d^{2}\overrightarrow{OM^{t}}}{dt^{2}}\right|_{R}}\]
Notation:
Lorsqu'on envisage plusieurs particules, il est commode d'identifier la vitesse et l'accélération de la particule par le point \(M\left(t\right)=M\) où elle est localisée à l'instant \(t\) (sachant qu'à l'instant \(t+dt\) elle est située en \(M^{t+dt}=M^{t}+\overrightarrow{v}\left(t\right)_{R}dt+o\left(dt\right)\))et on note:
- \(\overrightarrow{v}_{R}\left(M^{t}\right)=\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)\) (vitesse de la particule localisée en \(M^{t}\) à l'instant \(t\))
- \(\overrightarrow{a}_{R}\left(M^{t}\right)=\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)\) (accélération de la particule localisée en \(M^{t}\) à l'instant \(t\))
Déplacement dans \(R\) entre \(t\) et \(t+dt\) au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(dt\):
Au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(dt\), le déplacement de la particule dans \(R\) est directement relié à sa vitesse dans \(R\) à l'instant \(t\):
\[\overrightarrow{OM^{t+dt}}=\overrightarrow{OM^{t}}+\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)dt+o\left(dt\right)\]
\(\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)\) est tangente à la trajectoire au point \(M^{t}\).
Déplacement dans \(R\) entre \(t\) et \(t+dt\) au 2ème ordre en \(dt\):
Au 2ème ordre en \(dt\), le déplacement de la particule dans \(R\) est relié à sa vitesse et son accélération dans \(R\) à l'instant \(t\):
\[\overrightarrow{OM}\left(t+dt\right)=\overrightarrow{OM}\left(t\right)+\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)dt+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)dt^{2}+o\left(dt^{2}\right)\]
Si la trajectoire n'est pas rectiligne, \(\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)\) change de direction (et éventuellement de norme) entre \(t\) et \(t+dt\).
\(\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)\) possède alors nécessairement une composante normale en \(M^{t}\).
Remarque:
Ces remarques sont illustrées formellement dans une description dans le repère de Frénet.
1.3.2 Description du mouvement en coordonnées cartésiennes
Décrivons le mouvement de la particule en coordonnées cartésiennes \(\left(x,y,z\right)\) dans la base orthonormée associée \(B=\left(\overrightarrow{e}_{x},\overrightarrow{e}_{y},\overrightarrow{e}_{z}\right)\).
Le rayon vecteur \(\overrightarrow{r}\left(t\right)\) mené à la particule dans \(R\) s'écrit:
\[\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{OM}\left(t\right)=x\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x}+y\left(t\right)\overrightarrow{e}_{y}+z\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}\] où \(\overrightarrow{e}_{x},\overrightarrow{e}_{y},\overrightarrow{e}_{z}\) sont indépendants du temps.
- Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit:\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\dot{x}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x}+\dot{y}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{y}+\dot{z}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}\]
- Le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}{}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit:\[\overrightarrow{a}{}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\ddot{x}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x}+\ddot{y}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{y}+\ddot{z}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}\]
Remarque:
On peut retrouver l'expression de la vitesse à partir de l'élément de longueur en coordonnées cartésiennes (au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(\delta x,\delta y,\delta z\) ).
Dans ces conditions, on obtient:
- A \(y\) et \(z\) fixés, on se déplace de \(\delta x\) le long de l'axe \(\left(M,\overrightarrow{e}_{x}\right)\):\[\delta\overrightarrow{r}_{x}=\delta x\overrightarrow{e}_{x}\]
- A \(x\) et \(z\) fixés, on se déplace de \(\delta y\) le long de l'axe \(\left(M,\overrightarrow{e}_{y}\right)\):\[\delta\overrightarrow{r}_{y}=\delta y\overrightarrow{e}_{y}\]
- A \(x\) et \(y\) fixés, on se déplace de \(\delta z\) le long de l'axe \(\left(M,\overrightarrow{e}_{z}\right)\):\[\delta\overrightarrow{r}_{z}=\delta z\overrightarrow{e}_{z}\]
Au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(\delta x\), \(\delta y\), \(\delta z\) ,on obtient donc un élément de longueur par superposition des éléments de longueur précédents (obtenus en faisant varier indépendamment chacune des coordonnées ):
\[\delta\overrightarrow{r}=\delta\overrightarrow{r}_{x}+\delta\overrightarrow{r}_{y}+\delta\overrightarrow{r}_{z}=\delta x\overrightarrow{e}_{x}+\delta y\overrightarrow{e}_{y}+\delta z\overrightarrow{e}_{z}\] ce qui permet de retrouver la vitesse:
\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)=\mathop{\lim}\limits _{\delta t\to0}\left.\frac{\delta\overrightarrow{r}}{\delta t}\right|_{R}=\dot{x}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x}+\dot{y}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{y}+\dot{z}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}\]
1.3.3 Description du mouvement en coordonnées cylindriques
Décrivons le mouvement de la particule en coordonnées cylindriques \(\left(\rho,\varphi,z\right)\) dans la base orthonormée associée \(B=\left(\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{z}\right)\).
Le rayon vecteur \(\overrightarrow{r}\left(t\right)\) mené à la particule dans \(R\) s'écrit:
\[\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{OM}\left(t\right)=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KM}=\rho\left(t\right)\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M^{t}\right)+z\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}\] où \(\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)\) sont dépendants du temps via la dépendance \(M=M^{t}\).
Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit :
\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\dot{\rho}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M^{t}\right)+\rho\left(t\right)\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M^{t}\right)}{dt}\right|_{R}+\dot{z}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}\] En considérant le référentiel \(R_{cyl}\) lié au repère \(R_{cyl}=\left(O,\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M^{t}\right),\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M^{t}\right),\overrightarrow{e}_{z}\right)\):
\[\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M^{t}\right)}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R_{cyl/R}}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M^{t}\right)=\dot{\varphi}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}\wedge\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M^{t}\right)=\dot{\varphi}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M^{t}\right)\]Bilan:
Dans la base orthonormée directe associée aux coordonnées cylindriques, en notations condensées:
- Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit:\[\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\dot{\rho}\overrightarrow{e}_{\rho}+\rho\dot{\varphi}\overrightarrow{e}_{\varphi}+\dot{z}\overrightarrow{e}_{z}\]
- Le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}{}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit:\[\overrightarrow{a}{}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{v}{}_{R}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\ddot{\rho}\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M^{t}\right)+\dot{\rho}\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\rho}}{dt}\right|_{R}+\left[\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi}\right]\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M^{t}\right)+\rho\dot{\varphi}\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\varphi}}{dt}\right|_{R}+\ddot{z}\overrightarrow{e}_{z}\] avec:\[\left\{ \begin{array}{c}{\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\rho}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R_{cyl/R}}\wedge\overrightarrow{e}_{\rho}=\dot{\varphi}\overrightarrow{e}_{z}\wedge\overrightarrow{e}_{\rho}=+\dot{\varphi}\overrightarrow{e}_{\varphi}}\\{\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\varphi}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R_{cyl/R}}\wedge\overrightarrow{e}_{\varphi}=\dot{\varphi}\overrightarrow{e}_{z}\wedge\overrightarrow{e}_{\varphi}=-\dot{\varphi}\overrightarrow{e}_{\rho}}\end{array}\right.\] d'où:\[\overrightarrow{a}{}_{R}\left(t\right)=\ddot{\rho}\overrightarrow{e}_{\rho}+\dot{\rho}\dot{\varphi}\overrightarrow{e}_{\varphi}+\left[\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi}\right]\overrightarrow{e}_{\varphi}-\rho\dot{\varphi}^{2}\overrightarrow{e}_{\rho}+\ddot{z}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}\] soit:\[\overrightarrow{a}{}_{R}\left(t\right)=\left[\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^{2}\right]\overrightarrow{e}_{\rho}+\left[\rho\ddot{\varphi}+2\dot{\rho}\dot{\varphi}\right]\overrightarrow{e}_{\varphi}+\ddot{z}\overrightarrow{e}_{z}\] que l'on aura avantage à écrire sous la forme :\[\boxed{\overrightarrow{a}{}_{R}\left(t\right)=\left[\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^{2}\right]\overrightarrow{e}_{\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{d}{dt}\left[\rho^{2}\dot{\varphi}\right]\overrightarrow{e}_{\varphi}+\ddot{z}\overrightarrow{e}_{z}}\]
Remarque:
On peut retrouver l'expression de la vitesse à partir de l'élément de longueur en coordonnées cartésiennes (au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(\delta x,\delta y,\delta z\)).
Dans ces conditions, on obtient :
- A \(\varphi\) et \(z\) fixés, on se déplace de \(\delta\rho\) le long de l'axe radial \(\left(M,\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M\right)\right)\):\[\boxed{\delta\overrightarrow{r}_{\rho}=\delta\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M\right)}\]
- A \(\rho\) et \(z\) fixés, on se déplace de \(\delta y\) le long du cercle \(C_{HM,H}\) localement le long de \(\left(M,\overrightarrow{e}_{y}\right)\):\[\boxed{\delta\overrightarrow{r}_{\varphi}=HM\delta\varphi\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)=\rho\delta\varphi\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)}\]
- A \(\rho\) et \(\varphi\) fixés, on se déplace de \(\delta z\) le long de l'axe \(\left(M,\overrightarrow{e}_{z}\right)\):\[\boxed{\delta\overrightarrow{r}_{z}=\delta z\overrightarrow{e}_{z}}\]
Au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(\delta x,\delta y,\delta z\), on obtient donc un élément de longueur par superposition des éléments de longueur précédents (obtenus en faisant varier indépendamment chacune des coordonnées ) :
\[\delta\overrightarrow{r}=\delta\overrightarrow{r}_{\rho}+\delta\overrightarrow{r}_{\varphi}+\delta\overrightarrow{r}_{z}=\delta\rho\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M\right)+\rho\delta\varphi\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)+\delta z\overrightarrow{e}_{z}\] ce qui permet de retrouver la vitesse:
\[\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)=\mathop{\lim}\limits _{\delta t\to0}\left.\frac{\delta\overrightarrow{r}}{\delta t}\right|_{R}=\dot{\rho}\overrightarrow{e}_{\rho}+\rho\dot{\varphi}\overrightarrow{e}_{\varphi}+\dot{z}\overrightarrow{e}_{z}\] Ce procédé ne permet pas de retrouver l'accélération, car celle-ci contient des «termes croisés» entre les diverses variables cinématiques.
1.3.4 Description du mouvement en coordonnées sphériques
Décrivons le mouvement de la particule en coordonnées sphériques \(\left(r,\theta,\varphi\right)\) dans la base orthonormée associée \(B=\left(\overrightarrow{e}_{r}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{\theta}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)\right)\).
Le rayon vecteur \(\overrightarrow{r}\left(t\right)\) mené à la particule dans \(R\) s'écrit:
\[\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{OM}\left(t\right)=r\left(t\right)\overrightarrow{e}_{r}\left(M^{t}\right)\] où \(\overrightarrow{e}_{r}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{\theta}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)\) sont dépendent du temps via la dépendance \(M=M^{t}\).
Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\left(t\right)_{R}\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit:
\[\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\dot{r}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{r}\left(M^{t}\right)+r\left(t\right)\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{r}\left(M^{t}\right)}{dt}\right|_{R}\] En considérant le référentiel \(R_{sph}\) lié au repère \(R_{sph}=\left(O,\overrightarrow{e}_{r}\left(M^{t}\right),\overrightarrow{e}_{\theta}\left(M^{t}\right),\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M^{t}\right)\right)\):
\[\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{r}\left(M^{t}\right)}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R_{cyl/R}}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{e}_{r}\left(M^{t}\right)=\left[\dot{\varphi}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}+\dot{\theta}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M^{t}\right)\right]\wedge\overrightarrow{e}_{r}\left(M^{t}\right)=\dot{\theta}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{\theta}\left(M^{t}\right)+\dot{\varphi}\left(t\right)\sin\theta\left(t\right)\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M^{t}\right)\] Bilan:
Dans la base orthonormée directe associée aux coordonnées sphériques, en notations condensées:
- Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit:\[\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\dot{r}\overrightarrow{e}_{r}+r\dot{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+r\dot{\varphi}\sin\theta\overrightarrow{e}_{\varphi}\]
- Le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit:\(\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)=\ddot{r}\overrightarrow{e}_{r}+\dot{r}\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{r}}{dt}\right|_{R}+\left[\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right]\overrightarrow{e}_{\theta}+r\dot{\theta}\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\theta}}{dt}\right|_{R}+\left[\dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta+r\ddot{\varphi}\sin\theta+r\dot{\varphi}\dot{\theta}\cos\theta\right]\overrightarrow{e}_{\varphi}+r\dot{\varphi}\sin\theta\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\varphi}}{dt}\right|_{R}\)avec:\[\left\{ \begin{array}{l}\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{r}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R_{sph/R}}\wedge\overrightarrow{e}_{r}=\left[\dot{\varphi}\cos\theta\overrightarrow{e}_{r}-\dot{\varphi}\sin\theta\overrightarrow{e}_{\theta}+\dot{\theta}\overrightarrow{e}_{\varphi}\right]\wedge\overrightarrow{e}_{r}\\\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\theta}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R_{sph/R}}\wedge\overrightarrow{e}_{\theta}=\left[\dot{\varphi}\cos\theta\overrightarrow{e}_{r}-\dot{\varphi}\sin\theta\overrightarrow{e}_{\theta}+\dot{\theta}\overrightarrow{e}_{\varphi}\right]\wedge\overrightarrow{e}_{\theta}\\\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{\theta}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R_{sph/R}}\wedge\overrightarrow{e}_{\varphi}=\left[\dot{\varphi}\cos\theta\overrightarrow{e}_{r}-\dot{\varphi}\sin\theta\overrightarrow{e}_{\theta}+\dot{\theta}\overrightarrow{e}_{\varphi}\right]\wedge\overrightarrow{e}_{\varphi}\end{array}\right.\]d'où, après calculs:\[\begin{array}{l} {\V{a}_{R}\left(t\right)=\left[\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}-r\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta\right]\V{e}_{r}+\left[2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}-r\dot{\varphi}^{2}\sin\theta\cos\theta\right]\V{e}_{\theta}}\\ {{\rm \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}+\left[2\dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta+2r\dot{\varphi}\dot{\theta}\cos\theta+r\ddot{\varphi}\sin\theta-r\dot{\varphi}^{2}\sin\theta\cos\theta\right]\overrightarrow{e}_{\varphi}}\end{array}\]qui conduit donc à une expression compliquée et donc peu exploitable.
Remarque:
On peut retrouver l'expression de la vitesse à partir de l'élément de longueur en coordonnées cartésiennes (au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(\delta r,\delta\theta,\delta\varphi\) ).
Dans ces conditions, on obtient:
- A \(\theta\) et \(\varphi\) fixés, on se déplace de \(\delta r\) le long de l'axe radial \(\left(M,\overrightarrow{e}_{r}\left(M\right)\right)\)\[\boxed{\delta\overrightarrow{r}_{r}=\delta r\overrightarrow{e}_{r}\left(M\right)}\]
- A \(r\) et \(\varphi\) fixés, on se déplace de \(\delta\theta\) le long du cercle \(C_{OM,O}\) localement le long de\(\left(M,\overrightarrow{e}_{\theta}\left(M\right)\right)\):\[\boxed{\delta\overrightarrow{r}_{\theta}=OM\delta\theta\overrightarrow{e}_{\theta}\left(M\right)=r\delta\theta\overrightarrow{e}_{\theta}\left(M\right)}\]
- A \(r\) et \(\theta\) fixés, on se déplace de \(r\sin\theta\delta\varphi\) le long du cercle \(C_{HM,H}\), localement le long de\(\left(M,\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)\right)\):\[\boxed{\delta\overrightarrow{r}_{\varphi}=HM\delta\varphi\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)=r\sin\theta\delta\varphi\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)}\]
Au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(\delta r,\) \(\delta\theta\) et \(\delta\varphi\), on obtient donc un élément de longueur par superposition des éléments de longueur précédents (obtenus en faisant varier indépendamment chacune des coordonnées ):
\[\delta\overrightarrow{r}=\delta\overrightarrow{r}_{r}+\delta\overrightarrow{r}_{\theta}+\delta\overrightarrow{r}_{\varphi}=\delta r\overrightarrow{e}_{r}\left(M\right)+r\delta\theta\overrightarrow{e}_{\theta}\left(M\right)+r\sin\theta\delta\varphi\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)\] ce qui permet de retrouver la vitesse:
\[\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)=\mathop{\lim}\limits _{\delta t\to0}\left.\frac{\delta\overrightarrow{r}}{\delta t}\right|_{R}=\dot{r}\overrightarrow{e}_{r}+r\dot{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+r\dot{\varphi}\sin\theta\overrightarrow{e}_{\varphi}\] Ce procédé ne permet pas de retrouver l'accélération, car celle-ci contient des «termes croisés» entre les diverses variables cinématiques.
1.3.5 Description du mouvement dans le repère de Frénet
Décrivons le mouvement d'une particule en mouvement sur une courbe \(C_{+}\), munie d'une abscisse curviligne \(C_{+}\).
Le rayon vecteur \(\overrightarrow{r}\left(t\right)\) mené à la particule dans \(R\) s'écrit:
\(\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{OM^{t}}\) avec \(M^{t}=M\left[s\left(t\right)\right]\)
- Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit:\[\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{r}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\overrightarrow{OM}\left(s\right)}{ds}\right|_{s=s\left(t\right)}\frac{ds\left(t\right)}{dt}=\dot{s}\left(t\right)\overrightarrow{\tau}\left(M^{t}\right)\]
- Le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit, en notations plus condensées:\[\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{v}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\ddot{s}\left(t\right)\overrightarrow{\tau}\left(M^{t}\right)+\dot{s}\left(t\right)\frac{d\overrightarrow{\tau}\left(M^{t}\right)}{dt}=\ddot{s}\left(t\right)\overrightarrow{\tau}\left(M^{t}\right)+\dot{s}\left(t\right)\left.\frac{d\overrightarrow{\tau}\left(s\right)}{ds}\right|_{s=s\left(t\right)}\frac{ds\left(t\right)}{dt}\] soit:\[\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{v}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\ddot{s}\left(t\right)\overrightarrow{\tau}\left(M^{t}\right)+\frac{\dot{s}\left(t\right)^{2}}{R\left(M^{t}\right)}\overrightarrow{N}\left(M^{t}\right)\]
Bilan:
Dans la base de Frénet, en notations condensées:
- Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\left(t\right)_{R}\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit:\[\boxed{\overrightarrow{v}_{R}\left(t\right)=v\left(t\right)\overrightarrow{\tau}\left(M^{t}\right)=\dot{s}\left(t\right)\overrightarrow{\tau}\left(M^{t}\right)}\]qui est donc tangente à la courbe \(C_{+}\)en \(M=M^{t}\)
- Le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)\) de la particule à l'instant \(t\) dans \(R\) s'écrit:
\[\boxed{\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)=\left.\frac{d\overrightarrow{v}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{\tau}\left(M^{t}\right)+\frac{v^{2}}{R\left(M^{t}\right)}\overrightarrow{N}\left(M^{t}\right)}\]
Remarque 1:
L'accélération a donc:
- une composante normale \(a_{N}\) si:
- \(v\left(t\right)\ne0\)
- si \(C_{+}\) présente une courbure locale
- une composante tangentielle si le module de la vitesse varie au cours du temps
Remarquons enfin que \(\overrightarrow{a}_{R}\left(t\right)\) n'a pas de composante selon \(\overrightarrow{b}\left(M^{t}\right)\).
Remarque 2:
A première vue, le repère de Frénet apparaît séduisant car les expressions des composantes \(a_{T}\) et \(a_{N}\) de l'accélération apparaissent simples.
Cependant, il ne faut pas oublier que le calcul du rayon de courbure, en plus de celui des vecteurs \(\overrightarrow{\tau}\left(M^{t}\right)\) et \(\overrightarrow{N}\left(M^{t}\right)\), est particulièrement compliqué dans le cas général, même dans le cas d'une courbe plane.
On fait souvent appel au repère de Frénet pour l'étude d'une trajectoire circulaire sur un cercle \(C_{O,R}\) de centre \(O\) et de rayon \(R\), particulièrement simple mais très exceptionnel car:
- le rayon de courbure est constant et égal à \(R\)
- le centre de courbure est également le même à tout instant et confondu avec \(O\)
Le repère de Frénet est donc en fait de peu d'utilité pratique dans le cas général.
Toutefois, son importance théorique est considérable, notamment pour comprendre et quantifier la notion de courbure.