1.2 Les systèmes de coordonnées classiques
1.2.1 Interprétation géométrique d'un système de coordonnées et base locale associée
Plaçons-nous dans l'espace affine \(\mathcal{E}_{3}\).
Choisir des coordonnées dans \(\mathcal{E}_{3}\), c'est se donner une application:
\[s:\left\{ \begin{array}{l}\mathcal{E}_{3}\to\mathbb{R^{\textrm{3}}}\\M\mapsto\left(s_{1},s_{2},s_{3}\right)\end{array}\right.\]
qui, au moins dans un sous-espace de \(\mathcal{E}_{3}\), associe à tout point \(M\) un triplet permettant de repérer chaque point de manière unique.
Les coordonnées d'un point \(M\) sont donc repérées par 3 réels \(\left(s_{1},s_{2},s_{3}\right)\) qui s'interprètent comme l'intersection de 3 surfaces indépendantes \(\Sigma_{1}\), \(\Sigma_{2}\) et \(\Sigma_{3}\) passant par \(M\), supposées différentiables et orientables.
On appelera base normée associée la base locale \(B=\left(\overrightarrow{e}_{s_{1}}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{s_{2}}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{s_{3}}\left(M\right)\right)\), où \(\overrightarrow{e}_{s_{i}}\left(M\right)\) est un vecteur unitaire orthogonal à \(\Sigma_{i}\) au point \(M\).
Les coordonnées \(s\) seront dites orthogonales si la base précédente \(B=\left(\overrightarrow{e}_{s_{1}}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{s_{2}}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{s_{3}}\left(M\right)\right)\) est orthonormée.
Si \(E_{3}\) est orientable, on pourra choisir la base \(B\) de manière à ce que le trièdre \(\left(\overrightarrow{e}_{s_{1}}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{s_{2}}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{s_{3}}\left(M\right)\right)\) soit direct.
\(B=\left(\overrightarrow{e}_{s_{1}}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{s_{2}}\left(M\right),\overrightarrow{e}_{s_{3}}\left(M\right)\right)\) sera donc la base orthonormée directe associée aux coordonnées orthogonales.
- Pour tout champ de scalaire:\[f:\left\{ \begin{array}{l}\mathcal{E}_{3}\to\mathbb{R}\\M\mapsto f\left(M\right)\end{array}\right.\]on associera l'application \(\widetilde{f}=f\circ s\), appelée usuellement «\(f\) en coordonnées \(s\)», pour laquelle \(\forall M\in\mathcal{E}_{3}\):\[\tilde{f}\left(s_{1},s_{2},s_{3}\right)=f\left(M\right)\]Notation:Dans le cours de physique, une fois choisi le système de coordonnées, on confondra les applications \(f\) et \(\tilde{f}\).
- Pour tout champ de vecteurs:\[\overrightarrow{V}:\left\{ \begin{array}{l}\mathcal{E}_{3}\to\mathbb{R^{\textrm{3}}}\\M\mapsto\overrightarrow{V}\left(M\right)\end{array}\right.\]on associera \(\overrightarrow{\tilde{V}}=\overrightarrow{V}\circ s\), appelée usuellement \(\overrightarrow{V}\) en coordonnées \(s\), pour laquelle, \(\forall M\in\mathcal{E}_{3}\)\[\overrightarrow{\tilde{V}}\left(s_{1},s_{2},s_{3}\right)=\overrightarrow{V}\left(M\right)\]Notation:Dans le cours de physique, une fois choisi le système de coordonnées, on confondra le plus souvent les applications \(\overrightarrow{V}\) et \(\overrightarrow{\tilde{V}}\).
1.2.2 Coordonnées cartésiennes
Les coordonnées cartésiennes sont les coordonnées les plus simples que l'on puisse associer à \(M\in\mathcal{E}_{3}\) car la base associée:
\[B_{cart}=\left(\overrightarrow{e}_{x},\overrightarrow{e}_{y},\overrightarrow{e}_{z}\right)\]
est formée de vecteurs indépendants de \(M\).
On peut les voir comme intersection:
- du plan \(\Pi_{x}\) d'abscisse \(x\in\left]-\infty,+\infty\right[\) i.e. d'équation paramétrique:\[\left\{ \begin{array}{l}x_{1}=x\\x_{2}=u\\x_{3}=v\end{array}\right.\]où \(u,v\in\mathbb{R}\), que l'on notera simplement:\[x_{M}=x\]On lui associera le vecteur unitaire orthogonal à \(\Pi_{x}\) en \(M\) égal à \(\overrightarrow{e}_{x}\) (orienté selon les \(x\) croissants)
- du plan \(\Pi_{y}\) d'abscisse \(y\in\left]-\infty,+\infty\right[\) i.e. d'équation paramétrique:\[\left\{ \begin{array}{l}x_{1}=u\\x_{2}=y\\x_{3}=v\end{array}\right.\]où \(u,v\in\mathbb{R}\), que l'on notera simplement:\[y_{M}=y\]On lui associera le vecteur unitaire orthogonal à \(\Pi_{y}\) en \(M\) égal à \(\overrightarrow{e}_{y}\) (orienté selon les \(y\) croissants)
- du plan \(\Pi_{z}\) d'abscisse \(z\in\left]-\infty,+\infty\right[\) d'équation paramétrique:\[\left\{ \begin{array}{l}x_{1}=u\\x_{2}=v\\x_{3}=z\end{array}\right.\]où \(u,v\in\mathbb{R}\), que l'on notera simplement:\[z_{M}=z\]On lui associera le vecteur unitaire orthogonal à \(\Pi_{z}\) en \(M\) égal à \(\overrightarrow{e}_{z}\) (orienté selon les \(z\) croissants).
Bilan:
Les coordonnées cartésiennes \(\left(x,y,z\right)\) décrivent les points de \(\mathcal{E}{}_{3}\).
Notation :
Le triplet \(\left(x_{1}x_{2},x_{3}\right)\) est souvent noté \(\left(x,y,z\right)\) par défaut, avec la base associée: \[B_{cart}=\left(\overrightarrow{e}_{x},\overrightarrow{e}_{y},\overrightarrow{e}_{z}\right)\]
1.2.3 Coordonnées cylindriques
Les coordonnées cylindriques peuvent être vues comme intersection:
- du cylindre \(C_{\rho,Oz}\) de rayon \(\rho\in\left]0,+\infty\right[\) et d'axe \(Oz\) i.e. d'équation paramétrique:\[\left\{ \begin{array}{l}x=\rho\textrm{cos}u\\y=\rho\textrm{sin}u\\z=v\end{array}\right.\]où \(u\in\left[0,2\pi\right[\), \(v\in\mathbb{R}\), que l'on notera simplement:\[\rho_{M}=HM=\rho\]où \(H\) est la projection orthogonale de \(M\) sur \(Oz\).
On lui associera le vecteur unitaire orthogonal à \(C_{\rho,Oz}\) en \(M\notin Oz\) égal à \(\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M\right)\) orienté vers l'extérieur de \(C_{\rho,Oz}\)). - du demi-plan \(\Pi_{Oz,\varphi}\) faisant un angle \(\varphi\in\left[0,2\pi\right[\) avec \(Oxz\) i.e. d'équation paramétrique:\[\left\{ \begin{array}{l}x=u\textrm{cos}\varphi\\y=u\textrm{sin}\varphi\\z=v\end{array}\right.\]où \(u\in\mathbb{R}^{+,*}\),\(v\in\mathbb{R}\), que l'on notera simplement:\[\varphi_{M}=\varphi\]
On lui associera vecteur unitaire orthogonal à \(\Pi_{Oz,\varphi}\) en \(M\) est égal à \(\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)\) (orienté dans le sens positif associé à \(\varphi\)). - du plan \(\Pi_{z}\) d'abscisse \(z\in\left]-\infty,+\infty\right[\) i.e. d'équation:\[z_{M}=z\]
On lui associera le vecteur unitaire orthogonal à \(\Pi_{z}\) en \(M\) égal à \(\overrightarrow{e}_{z}\) (orienté selon les \(z\) croissants).
Bilan:
Les coordonnées cylindriques \(\left(\rho,\varphi,z\right)\) décrivent les points de \(\mathcal{E}{}_{3}\backslash\left\{ Oz\right\} \):
Remarque:
Les coordonnées cartésiennes exprimées en fonction des coordonnées cylindriques définissent un difféomorphisme sur \(\mathbb{R}^{+*}\times\left[0,2\pi\right[\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3*}\) qui sera décrit par la représentation paramétrique:
\[\left\{ \begin{array}{l}x=\rho\cos\varphi\\y=\rho\sin\varphi\\z=z\end{array}\right.\]
1.2.4 Coordonnées sphériques
Les coordonnées sphériques peuvent être vues comme intersection:
- de la sphère \(S_{r,O}\) de rayon \(r\in\left]0,+\infty\right[\) et de centre \(O\) (origine)i.e. d'équation:\[r_{M}=OM=r\]et de vecteur unitaire orthogonal à \(S_{r,O}\) en \(M\) égal à \(\overrightarrow{e}_{\rho}\left(M\right)\) (orienté vers l'extérieur de \(S_{r,O}\) )
- du cône \(C_{\theta,Oz}\) de demi-angle au sommet \(\theta\) et d'axe \(Oz\) i.e. d'équation:\[\theta_{M}=\theta\]et de vecteur unitaire orthogonal à \(C_{\theta,Oz}\) en \(M\) égal à \(\overrightarrow{e}_{\theta}\left(M\right)\) (orienté dans le sens positif associé à \(\theta\)).
- du demi-plan \(\Pi_{\varphi,Oz}\) faisant un angle \(\varphi\in\left[0,2\pi\right[\) avec \(Ox_{1}x_{3}=Oxz\) i.e. d'équation:\[\varphi_{M}=\varphi\]et de vecteur unitaire orthogonal à \(\Pi_{Oz,\varphi}\) en \(M\) égal à \(\overrightarrow{e}_{\varphi}\left(M\right)\) (orienté dans le sens positif associé à \(\varphi\))
Bilan:
Les coordonnées sphériques \(\left(r,\theta,\varphi\right)\) décrivent les points de \(\mathcal{E}{}_{3}\backslash\left\{ O\right\} \):
Remarque:
Les coordonnées cartésiennes exprimées en fonction des coordonnées sphériques définissent un difféomorphisme sur \(\mathbb{R}^{+*}\times\left[0,\pi\right[\times\left[0,2\pi\right[\to\mathbb{R}^{3*}\) qui sera décrit par la représentation paramétrique:
\[\left\{ \begin{array}{l}x=r\sin\theta\cos\varphi\\y=r\sin\theta\sin\varphi\\z=r\cos\theta\end{array}\right.\]
1.2.5 Cas d'un mouvement sur une courbe: abscisse curviligne
Soit une particule astreinte à se déplacer sur une courbe \(C_{+}\) orientée, différentiable, dans un espace affine euclidien \(\mathcal{E}_{3}\) orienté.
On repère alors la position de la particule par une abscisse curviligne \(s\).
Au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(ds\), si \(M\left(s\right)\) et \(M^{\prime}\left(s+ds\right)\) appartiennent à \(C_{+}\):
\[\overrightarrow{MM^{\prime}}=ds\overrightarrow{\tau}\left(s\right)\] où \(\overrightarrow{\tau}\left(s\right)\) est le vecteur unitaire tangent en \(M\left(s\right)\) à \(C_{+}\).
On a par ailleurs:
\[\frac{d\overrightarrow{\tau}\left(s\right)}{ds}=\frac{\overrightarrow{n}\left(s\right)}{R\left(s\right)}\] où \(\overrightarrow{n}\left(s\right)\) est le vecteur unitaire normal en \(M\left(s\right)\) à \(C_{+}\), pointant vers la concavité locale de \(C_{+}\), \(R\left(s\right)\) désignant le rayon de courbure local et \(\mathcal{C}\left(s\right)=\frac{1}{R\left(s\right)}\) la courbure locale au point \(M\left(s\right)\in C_{+}\).
Remarque:
\(\overrightarrow{n}\left(s\right)\) est bien orthogonal à \(\overrightarrow{\tau}\left(s\right)\) puisque, ce dernier étant unitaire:
\[\overrightarrow{\tau}\left(s\right)^{2}=1\Rightarrow2\overrightarrow{\tau}\left(s\right).\frac{d\overrightarrow{\tau}\left(s\right)}{ds}=2\overrightarrow{\tau}\left(s\right).\frac{\overrightarrow{n}\left(s\right)}{R\left(s\right)}=0\]
Le point \(\Omega\left(s\right)\) pour lequel:
\[\overrightarrow{M\Omega}=R\left(s\right)\overrightarrow{n}\left(s\right)\] est appelé centre de courbure local au point \(M\left(s\right)\in C_{+}\).
On appelle base de Frénet la base locale orthonormée directe: \[B_{F}=\left(\overrightarrow{\tau}\left(s\right),\overrightarrow{n}\left(s\right),\overrightarrow{b}\left(s\right)\right)\]
où:
\[\boxed{\overrightarrow{b}\left(s\right)=\overrightarrow{\tau}\left(s\right)\wedge\overrightarrow{n}\left(s\right)}\] Le repère local \(R_{F}=\left(M\left(s\right),\overrightarrow{\tau}\left(s\right),\overrightarrow{n}\left(s\right),\overrightarrow{b}\left(s\right)\right)\) est appelé repère de Frénet.