1.1 Repérage dans l'espace
1.1.1 Repère et base
Plaçons-nous dans l'espace affine \(\mathcal{E}_{3}\) (ensemble de points) supposé euclidien et orienté.
On note \(E_{3}\) l'espace vectoriel euclidien associé (ensemble de vecteurs, que l'on pourra représenter par des bipoints).
Il est donc muni d'un produit scalaire noté .
On munira donc \(\mathcal{E}_{3}\) d'un repère \(R\) c'est-à-dire:
- d'une origine \(O\)
- d'une base \(B\) de \(E_{3}\)
Sauf mention contraire, \(B=\left(\overrightarrow{v}_{1},\overrightarrow{v}_{2},\overrightarrow{v}_{3}\right)\) désignera une base orthonormée, i.e un ensemble de \(3\) vecteurs mutuellement orthogonaux et normés.
Autrement dit, \(\forall i,j\in\left\{ 1,2,3\right\} :\)
\[\overrightarrow{v}_{i}.\overrightarrow{v}_{j}=\delta_{i}^{j}\] où \(\delta_{i}^{j}\) désigne le symbole de Kronecker, défini par:
\[\left\{ \begin{array}{llc}\delta_{i}^{j}=1 & \textrm{si} & i=j\\\delta_{i}^{j}=0 & \textrm{si} & i\ne j\end{array}\right.\]
La base \(B=\left(\overrightarrow{v}_{1},\overrightarrow{v}_{2},\overrightarrow{v}_{3}\right)\) sera prise directe:
\[\overrightarrow{v}_{3}=\overrightarrow{v}_{1}\wedge\overrightarrow{v}_{2}\] où \(\wedge\) désigne le produit vectoriel, avec une orientation positive définie par la règle du tire-bouchon de Maxwell: celui-ci progresse dans le sens de \(\overrightarrow{v}_{3}\) lorsqu'il tourne dans le sens trigonométrique associé à \(\left(\overrightarrow{v}_{1},\overrightarrow{v}_{2}\right)\).
1.1.2 Référentiel
On s'intéresse à une particule assimilable à un point matériel localisé au point \(M\) à l'instant \(t\).
On appelle référentiel un solide de référence par rapport auquel on choisit d'étudier le mouvement de la particule étudiée.
Le référentiel R désignera le référentiel lié au repère \(R\), i.e. que tout point \(\tilde{M}\) lié à \(R\) est dit fixe dans \(R\).
Remarque:
Ainsi, puisque la base \(B=\left(\overrightarrow{v}_{1},\overrightarrow{v}_{2},\overrightarrow{v}_{3}\right)\) est liée à \(R\), \(\overrightarrow{v}_{1},\overrightarrow{v}_{2},\overrightarrow{v}_{3}\) sont donc vus indépendants du temps dans \(R\).
Pour un point \(\tilde{M}\) lié au référentiel \(R=\left(O,\overrightarrow{v}_{1},\overrightarrow{v}_{2},\overrightarrow{v}_{3}\right)\), \(\overrightarrow{O\tilde{M}}\)est donc indépendant du temps dans \(R\) i.e.:
\[\overrightarrow{O\tilde{M}}=\tilde{x}_{1}\overrightarrow{v}_{1}+\tilde{x}_{2}\overrightarrow{v}_{2}+\tilde{x}_{3}\overrightarrow{v}_{3}\] où \(\left(\tilde{x}_{1},\tilde{x}_{2},\tilde{x}_{3}\right)\) sont indépendantes du temps.
On aura donc:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{O\tilde{M}}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{0}\]
Exemple:
Au quotidien, notre référentiel d'étude est par défaut le référentiel terrestre \(R_{T}\), lié à la Terre.
Autrement dit, nous apprécions le mouvement des objets par rapport à la Terre, ou tout solide qui lui est lié (les murs de la salle par exemple, qui seront dits «fixes», affirmation qui n'a rien d'absolue mais qui signifie, sauf mention contraire, fixe dans \(R_{T}\) ).
1.1.3 Référentiel et bases de projection
Plaçons-nous dans un référentiel \(R\) donné.
- La base de projection \(B=\left(\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2},\overrightarrow{e}_{3}\right)\) est dite liée à \(R\) si \(\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2},\overrightarrow{e}_{3}\) sont fixes dans \(R\) soit, \(\forall i\in\left\{ 1,2,3\right\} \):\[\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{i}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{0}\]
- La base de projection \(B^{\prime}=\left(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)\right)\) est dite mobile dans \(R\) si l'un au moins des vecteurs \(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)\) est mobile dans \(R\) soit, \(\exists i\in\left\{ 1,2,3\right\} \):\[\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}\ne\overrightarrow{0}\]
Remarque 1:
Si \(B^{\prime}=\left(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)\right)\) est une base orthonormée directe de vecteurs mobiles dans \(R\), remarquons que \(B^{\prime}=\left(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1},\overrightarrow{e^{\prime}}_{2},\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\right)\) est une base orthonormée directe de vecteurs fixes dans le référentiel \(R^{\prime}=\left(O,\overrightarrow{e^{\prime}}_{1},\overrightarrow{e^{\prime}}_{2},\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\right)\).
Remarque 2:
Généralement, les vecteurs de \(B^{\prime}=\left(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1},\overrightarrow{e^{\prime}}_{2},\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\right)\) sont construits à partir du vecteur \(\overrightarrow{OM}\left(t\right)\) repérant une particule localisée au point \(M\left(t\right)\) à l'instant \(t\), i.e. mobile dans \(R\).
Ainsi, on aura en réalité:
\[B^{\prime}=\left(\overrightarrow{\tilde{e}^{\prime}}_{1}\left[M\left(t\right)\right],\overrightarrow{\tilde{e}^{\prime}}_{2}\left[M\left(t\right)\right],\overrightarrow{\tilde{e}^{\prime}}_{3}\left[M\left(t\right)\right]\right)\] avec, \(\forall i\in\left\{ 1,2,3\right\} \):
\[\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)=\overrightarrow{\tilde{e}^{\prime}}_{i}\left[M\left(t\right)\right]\]
1.1.4 Mouvement relatif de \(2\) référentiels \(R\) et \(R^{\prime}\)
Soient \(2\) référentiels \(R\) et \(R^{\prime}\) liés respectivement aux repères orthonormés directs \(R=\left(O,\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2},\overrightarrow{e}_{3}\right)\) et \(R^{\prime}=\left(O,\overrightarrow{e^{\prime}}_{1},\overrightarrow{e^{\prime}}_{2},\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\right)\).
Dans le cas général, en se plaçant dans le référentiel \(R\), lié au repère \(R=\left(O,\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2},\overrightarrow{e}_{3}\right)\), l'origine \(O^{\prime}=O^{\prime}\left(t\right)\) et la base \(B^{\prime}=\left(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)\right)\) liés au référentiel \(R^{\prime}\) sont mobiles dans \(R\).
Le mouvement de \(R^{\prime}\) dans \(R\) est donc complètement caractérisé par:
- le mouvement de l'origine \(O^{\prime}=O^{\prime}\left(t\right)\) de \(R^{\prime}\) dans \(R\) que l'on va décrire par la vitesse de \(O^{\prime}\) dans \(R\):\[\left.\overrightarrow{v}_{R}\left(O^{\prime}\right)=\frac{d\overrightarrow{OO^{\prime}}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}\]
- le mouvement des vecteurs unitaires \(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)\) soit, \(\forall i\in\left\{ 1,2,3\right\} \):, entièrement caractérisé par un vecteur rotation \(\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\) du référentiel \(R^{\prime}\) par rapport au référentiel \(R\), tel que, à l'instant \(t\):\[\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)\]
Preuve :
En remarquant que:
\[\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right).\overrightarrow{e^{\prime}}_{j}\left(t\right)=\delta_{i}^{j}\] on en déduit que, \(\forall i\in\left\{ 1,2,3\right\} \):
\[\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right).\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=0\left(\alpha_{i}\right)\] et, \(\forall i,j\in\left\{ 1,2,3\right\} \) avec \(i\ne j\):
\[\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right).\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{j}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=-\overrightarrow{e^{\prime}}_{j}\left(t\right).\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}\left(\beta_{ij}\right)\] On déduit de \(\left(\alpha_{1}\right)\) et \(\left(\alpha_{2}\right)\) que:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\Omega'_{12}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right)+\Omega'_{13}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)\]
\[\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\Omega'_{21}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)+\Omega'_{23}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)\] sachant que \(\left(\beta_{12}\right)\) et \(\left(\beta_{21}\right)\) entraînent:
\[\Omega_{12}\left(t\right)=-\Omega_{21}\left(t\right)\] Introduisons alors le vecteur:
\[\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)=\Omega'_{1}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)+\Omega'_{2}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right)+\Omega'_{3}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)\] appelé vecteur rotation instantané de \(R^{\prime}\) par rapport à \(R\) (exprimé ici dans la base \(B'\)), avec:
\[\left\{ \begin{array}{c}{\Omega_{1}^{\prime}\left(t\right)=\Omega_{23}^{\prime}\left(t\right)=-\Omega_{32}^{\prime}\left(t\right)}\\{\Omega_{2}^{\prime}\left(t\right)=\Omega_{31}^{\prime}\left(t\right)=-\Omega_{13}^{\prime}\left(t\right)}\\{\Omega_{3}^{\prime}\left(t\right)=\Omega_{121}^{\prime}\left(t\right)=-\Omega_{21}^{\prime}\left(t\right)}\end{array}\right.\] On a donc, \(\forall i\in\left\{ 1,2,3\right\} \):
\[\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)\]
Remarque:
La relation précédente peut s'écrire, au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(dt\):
\[\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t+dt\right)=\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)dt\wedge\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)+o\left(dt\right)\] ou encore, matriciellement dans la base \(B^{\prime}=\left(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)\right)\), en omettant la dépendance en \(t\) de \(\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\):
\[\left(\begin{array}{c}{e_{i,x}^{\prime}\left(t+dt\right)}\\{e_{i,y}^{\prime}\left(t+dt\right)}\\{e_{i,z}^{\prime}\left(t+dt\right)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-\Omega_{3}^{\prime}dt} & {+\Omega_{2}^{\prime}dt}\\{+\Omega_{3}^{\prime}dt} & {1} & {-\Omega_{1}^{\prime}dt}\\{-\Omega_{2}^{\prime}dt} & {+\Omega_{1}^{\prime}dt} & {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e_{i,x}^{\prime}\left(t\right)}\\{e_{i,y}^{\prime}\left(t\right)}\\{e_{i,z}^{\prime}\left(t\right)}\end{array}\right)\] Toujours au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(dt\), on peut l'écrire:
\[\left(\begin{array}{c}{e_{i,x}^{\prime}\left(t+dt\right)}\\{e_{i,y}^{\prime}\left(t+dt\right)}\\{e_{i,z}^{\prime}\left(t+dt\right)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-\Omega_{3}^{\prime}dt} & {0}\\{+\Omega_{3}^{\prime}dt} & {1} & {0}\\{0} & {0} & {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {+\Omega_{2}^{\prime}dt}\\{0} & {1} & {0}\\{-\Omega_{2}^{\prime}dt} & {0} & {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0}\\{0} & {1} & {-\Omega_{1}^{\prime}dt}\\{0} & {+\Omega_{1}^{\prime}dt} & {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e_{i,x}^{\prime}\left(t\right)}\\{e_{i,y}^{\prime}\left(t\right)}\\{e_{i,z}^{\prime}\left(t\right)}\end{array}\right)\] ce qui signifie une composition de 3 rotations infinitésimales:
- d'angle \(\delta\varphi_{1}=\Omega_{1}^{\prime}\left(t\right)dt\) autour de \(Ox\)
- d'angle \(\delta\varphi_{2}=\Omega_{2}^{\prime}\left(t\right)dt\) autour de \(Oy\)
- d'angle \(\delta\varphi_{3}=\Omega_{3}^{\prime}\left(t\right)dt\) autour de \(Oz\)
Celles-ci, au \(1^{\textrm{er}}\) ordre en \(dt\), sont alors commutatives (contrairement au cas général ):
\[\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)=\overrightarrow{\Omega^{\prime}}_{1}\left(t\right)+\overrightarrow{\Omega^{\prime}}_{2}\left(t\right)+\overrightarrow{\Omega^{\prime}}_{3}\left(t\right)=\Omega_{1}^{\prime}\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}+\Omega_{2}^{\prime}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}+\Omega_{3}^{\prime}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\]
1.1.5 Interprétation géométrique du vecteur rotation: cas d'une rotation autour de l'axe \(Oz\)
Intéressons-nous au cas où \(R^{\prime}=Ox^{\prime}y^{\prime}z\) st en rotation autour de \(Oz\) lié à \(R=Oxyz\).
Repérons par:
\[\varphi=\left(\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)\right)\] l'angle de rotation, orienté positivement dans le sens indiqué.
Soit \(\overrightarrow{e}_{+}\) le vecteur unitaire orienté positivement par rapport à l'orientation de \(\varphi\), par la règle du tire-bouchon de Maxwell.
Montrons que:
\[\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)=\frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_{+}=\dot{\varphi}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{+}\] sachant que dans notre cas, avec le choix des vecteurs unitaires de \(B^{\prime}\):
\[\overrightarrow{e}_{+}=\overrightarrow{e}_{3}\]
Preuve:
Il est clair que, dans ce cas:
\[\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)=\Omega_{3}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{3}\] car:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\overrightarrow{e}_{3}}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{e}_{3}=\overrightarrow{0}\] ce qui signifie géométriquement que la rotation a lieu dans un plan parallèle à \(Oxy\).
On a dans ce cas, puisque \(\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right)\) se déduit de \(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)\) d'une rotation de \(+\frac{\pi}{2}\) dans le sens positif associé à \(\varphi\):
- \(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)=\cos\varphi\left(t\right)\overrightarrow{e}_{1}+\sin\varphi\left(t\right)\overrightarrow{e}_{2}\)
- \(\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right)=\cos\left[\varphi\left(t\right)+\frac{\pi}{2}\right]\overrightarrow{e}_{1}+\sin\left[\varphi\left(t\right)+\frac{\pi}{2}\right]\overrightarrow{e}_{2}=-\sin\varphi\left(t\right)\overrightarrow{e}_{1}+\cos\varphi\left(t\right)\overrightarrow{e}_{2}\)
- \(\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)=\overrightarrow{e}_{3}=\overrightarrow{e}_{+}\)
On en déduit:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\frac{d\cos\varphi\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_{1}+\frac{d\sin\varphi\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_{2}=\frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\left[\frac{d\cos\varphi}{d\varphi}\overrightarrow{e}_{1}+\frac{d\sin\varphi}{dt}\overrightarrow{e}_{2}\right]_{\varphi=\varphi\left(t\right)}=\frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right)\]
\[\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\frac{d\cos\left[\varphi\left(t\right)+\frac{\pi}{2}\right]}{dt}\overrightarrow{e}_{1}+\frac{d\sin\left[\varphi\left(t\right)+\frac{\pi}{2}\right]}{dt}\overrightarrow{e}_{2}=-\frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)\] En identifiant avec:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)=\Omega_{3}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{3}\wedge\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right)=\Omega_{3}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right)\] On en déduit:
\[\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)=\frac{d\varphi\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_{3}=\dot{\varphi}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{+}\] en notant, pour des fonctions du temps:
\[\frac{dX\left(t\right)}{dt}=\dot{X}\left(t\right)\]
Remarque:
Plus généralement, si \(\overrightarrow{u}\left(\varphi\right)\) est une vecteur unitaire dans le plan \(Oxy\), on vérifie donc que:
\[\frac{d\overrightarrow{u}\left(\varphi\right)}{d\varphi}=\left[\frac{d\cos\varphi}{d\varphi}\overrightarrow{e}_{1}+\frac{d\sin\varphi}{d\varphi}\overrightarrow{e}_{2}\right]=\cos\left[\varphi+\frac{\pi}{2}\right]\overrightarrow{e}_{1}+\sin\left[\varphi+\frac{\pi}{2}\right]\overrightarrow{e}_{2}=\overrightarrow{v}\left(\varphi\right)\] où \(\overrightarrow{v}\left(\varphi\right)\) se déduit de \(\overrightarrow{u}\left(\varphi\right)\) par une rotation de \(\frac{\pi}{2}\) dans le sens positif d'orientation des angles dans \(Oxy\), i.e. d'angles orientés positivement par rapport à \(\overrightarrow{e}_{+}\).
1.1.6 Formule de dérivation vectorielle
Soit un vecteur \(\overrightarrow{A}\left(t\right)\) un vecteur dépendant du temps, de classe \(C^{1}\) sur l'intervalle d'étude.
Montrons que:
\[\boxed{\left.\frac{d\overrightarrow{A}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\overrightarrow{A}\left(t\right)}{dt}\right|_{R^{\prime}}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\left(t\right)\wedge\overrightarrow{A}\left(t\right)}\] appelée formule de dérivation vectorielle.
Preuve:
- Plaçons-nous du point de vue d'un observateur dans \(R\).\(\overrightarrow{A}\), dans la base \(B=\left(\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2},\overrightarrow{e}_{3}\right)\), ne dépend donc du temps que via les coordonnées:\[\overrightarrow{A}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{3}A_{i}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{i}\]On a donc:\[\left.\frac{d\overrightarrow{A}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\sum_{i=1}^{3}\frac{dA_{i}\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e}_{i}\]
- \(\overrightarrow{A}\), dans la base \(B^{\prime}=\left(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{2}\left(t\right),\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\left(t\right)\right)\), dépend du temps via les coordonnées et les vecteurs de base:\[\overrightarrow{A}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{3}A_{i}^{\prime}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)\]On a donc:\[\begin{array}{l}\left.\frac{d\overrightarrow{A}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}=\sum_{i=1}^{3}\frac{dA_{i}^{\prime}\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)+\sum_{i=1}^{3}A_{i}^{\prime}\left(t\right)\left.\frac{d\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)}{dt}\right|_{R}\end{array}\]
- Plaçons-nous maintenent du point de vue d'un observateur dans \(R^{\prime}\). \(\overrightarrow{A}\), dans la base \(B^{\prime}=\left(\overrightarrow{e^{\prime}}_{1}\overrightarrow{e^{\prime}}_{2},\overrightarrow{e^{\prime}}_{3}\right)\), ne dépend du temps que via les coordonnées:\[\overrightarrow{A}\left(t\right)=\sum_{i=1}^{3}A_{i}^{\prime}\left(t\right)\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\] On a donc:\[\left.\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}\right|_{R^{\prime}}=\sum_{i=1}^{3}\frac{dA_{i}^{\prime}\left(t\right)}{dt}\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\]
En notations condensées, on trouve donc, en reprenant le point de vue d'un observateur dans \(R\):
\[\left.\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}\right|_{R^{\prime}}+\sum_{i=1}^{3}A_{i}^{\prime}\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\overrightarrow{e^{\prime}}_{i}\left(t\right)\] soit:
\[\left.\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}\right|_{R^{\prime}}+\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\wedge\overrightarrow{A}\]
1.1.7 Interprétation géométrique du vecteur rotation: cas d'une rotation autour du point \(O\)
Intéressons-nous au cas où \(R^{\prime}=Ox'y'z'\) est en rotation autour de l'origine \(O\) liée à \(R=Oxyz\).
Grâce à la loi de composition des vecteurs rotations, décrivons le mouvement de \(R^{\prime}=Ox^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}\) en mouvement autour de \(O\) par \(3\) degrés de liberté angulaires issus de \(3\) changements de référentiel successifs:
- Angle de précession \(\varphi=\left(Ox,Ox_{1}\right)\):
On construit le référentiel \(R_{1}=Ox_{1}y_{1}z_{1}=Ox_{1}y_{1}z\) issu de \(R=Oxyz\) par une rotation d'angle \(\varphi\) autour de \(Oz\).On a donc:\[\overrightarrow{\Omega}_{R_{1}/R}\left(t\right)=\dot{\varphi}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}\] - Angle de nutation \(\theta=\left(Oz,Oz_{1}\right)\):
On construit le référentiel \(R_{2}=Ox_{2}y_{2}z_{2}=Ox_{1}y_{2}z_{2}\) issu de \(R_{1}=Ox_{1}y_{1}z_{1}\) par une rotation d'angle \(-\theta\) autour de \(Ox_{2}\)On a donc:\[\overrightarrow{\Omega}_{R_{2}/R_{1}}\left(t\right)=-\dot{\theta}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x,2}\left(t\right)\] - Angle de rotation propre \(\psi=\left(Ox^{\prime},Ox_{2}\right)\):
On construit le référentiel issu de \(R_{2}=Ox_{2}y_{2}z_{2}\) par une rotation d'angle \(\psi\) autour de \(Oz_{2}\).On a donc:\[\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R_{2}}\left(t\right)=\dot{\psi}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z,2}\left(t\right)\]
Bilan:
Le mouvement de \(R^{\prime}=Ox^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}\) en rotation autour de \(O\) dans \(R=Oxyz\) est caractérisé par \(3\) degrés de liberté \(\left(\varphi,\theta,\psi\right)\) appelés angles d'Euler.
Le vecteur rotation \(\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R}\) s'écrit donc, d'après la loi de composition des vecteurs rotation:
\[\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}//R}\left(t\right)=\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}/R_{2}}\left(t\right)+\overrightarrow{\Omega}_{R_{2}/R_{1}}\left(t\right)+\overrightarrow{\Omega}_{R_{1}/R}\left(t\right)\] soit:
\[\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}//R}\left(t\right)=\dot{\psi}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z,2}\left(t\right)-\dot{\theta}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x,2}\left(t\right)+\dot{\varphi}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z}\] que l'on peut exprimer dans la base \(B_{2}=\left(\overrightarrow{e}_{x,2}\left(t\right),\overrightarrow{e}_{y,2}\left(t\right),\overrightarrow{e}_{z,2}\left(t\right)\right)\), sachant que:
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{e}_{z,2}\left(t\right)=\overrightarrow{e}_{z'}\left(t\right)\\\overrightarrow{e}_{z}=\cos\theta\left(t\right)\overrightarrow{e}_{z_{2}}\left(t\right)-\sin\theta\left(t\right)\overrightarrow{e}_{y_{2}}\left(t\right)\end{array}\right.\]
soit:
\[\boxed{\overrightarrow{\Omega}_{R^{\prime}//R}\left(t\right)=-\dot{\theta}\left(t\right)\overrightarrow{e}_{x,2}\left(t\right)-\dot{\varphi}\left(t\right)\sin\theta\left(t\right)\overrightarrow{e}_{y,2}\left(t\right)+\left[\dot{\psi}\left(t\right)+\dot{\varphi}\left(t\right)\cos\theta\left(t\right)\right]\overrightarrow{e}_{z,2}\left(t\right)}\]