6.4 Formules trigonométriques hyperboliques utiles
6.4.1 Héritage des relations trigonométriques
Prolongeons les formules de trigonométrie à la variable complexe \(z\).
Pour obtenir les formules correspondantes en trigonométrie hyperbolique, il suffit de remarquer que:
\[\left\{ \begin{array}{l}\cos\left(ix\right)=\frac{e^{i\left(ix\right)}+e^{-i\left(ix\right)}}{2}=\cosh x\\\sin\left(ix\right)=\frac{e^{i\left(ix\right)}-e^{-i\left(ix\right)}}{2i}=-i\sinh x\end{array}\right.\]
6.4.2 Formules «Euler hyperbolique»
De la définition des fonctions cosinus et sinus hyperbolique, on obtient directement:
\[\left\{ \begin{array}{l}e^{x}=\cosh x+\sinh x\\e^{-x}=\cosh x-\sinh x\end{array}\right.\]
6.4.3 Formules «Pythagore hyperbolique»
En écrivant:
\[\cos^{2}\left(ix\right)+\sin^{2}\left(ix\right)=1\]
on obtient:
\[\boxed{\cosh^{2}x-\sinh^{2}x=1}\]
On en déduit par exemple que:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{\sinh^{2}x}=1-\tanh^{2}x\\\frac{1}{\cosh^{2}x}=1-\textrm{cotanh}^{2}x\end{array}\right.}\]
6.4.4 Formules «addition arguments»
En écrivant:
\[\left\{ \begin{array}{l}\cos\left[i\left(x_{1}+x_{2}\right)\right]=\cos\left(ix_{1}\right)\cos\left(ix_{2}\right)-\sin\left(ix_{1}\right)\sin\left(ix_{2}\right)\\\sin\left[i\left(x_{1}+x_{2}\right)\right]=\sin\left(ix_{1}\right)\cos\left(ix_{2}\right)+\sin\left(ix_{2}\right)\cos\left(ix_{1}\right)\end{array}\right.\]
on en déduit les formules «addition arguments»:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\cosh\left(x_{1}+x_{2}\right)=\cosh x_{1}\cosh x_{2}+\sinh x_{1}\sinh x_{2}\\\sinh\left(x_{1}+x_{2}\right)=\sinh x_{1}\cosh x_{2}+\sinh x_{2}\cosh x_{1}\end{array}\right.}\]
Il en résulte que:
\[\tanh\left(x_{1}+x_{2}\right)=\frac{\sinh\left(x_{1}+x_{2}\right)}{\cosh\left(x_{1}+x_{2}\right)}=\frac{\sinh x_{1}\cosh x_{2}+\sinh x_{2}\cosh x_{1}}{\cosh x_{1}\cosh x_{2}+\sinh x_{1}\sinh x_{2}}\]
En divisant par \(\cosh x_{1}\cosh x_{2}\), on trouve:
\[\boxed{\tanh\left(x_{1}+x_{2}\right)=\frac{\tanh x_{1}+\tanh x_{2}}{1+\tanh x_{1}\tanh x_{2}}}\]
6.4.5 Formules «argument double» et «argument moitié»
Si on pose \(x_{1}=x_{2}=x\), on obtient les formules «argument double»:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\cosh2x=\cosh^{2}x+\sinh^{2}x\\\sinh2x=2\sinh x\cosh x\end{array}\right.}\]
et:
\[\boxed{\tanh2x=\frac{2\tanh x}{1+\tanh^{2}x}}\]
qui conduisent notamment à:
\[\cosh2x=\cosh^{2}x+\sinh^{2}x=2\cosh^{2}x+1=1+2\sinh^{2}x\]
qui conduisent aux formules «argument moitié»:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\cosh^{2}x=\frac{\cosh2x+1}{2}\\\sinh^{2}x=\frac{\cosh2x-1}{2}\end{array}\right.}\]
qui sont particulièrement utiles.
6.4.6 Formules «addition-produit»
Elles s'obtiennent de manière analogue si on en a besoin.