6.5 Caractérisation des fonctions trigonométriques hyperboliques usuelles

6.5.1 Fonctions directes

• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\cosh x\)
  
  • fonction paire
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\sinh\)\(\left(x\right)\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=\sinh\left(x\right)+C^{te}\)
  • points remarquables et comportement asymptotique:
    • \(\cosh\left(0\right)=1\)
    • \(\cosh\left(x\right)\underset{\scriptsize{x\longrightarrow+\infty}}{\approx}\frac{e^{x}}{2}\)
• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\sinh x\)
  
  • fonction impaire
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\cosh\)\(\left(x\right)\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=\cosh\left(x\right)+C^{te}\)
  • points remarquables et comportement asymptotique:
    • \(\sinh\left(0\right)=0\)
    • \(\sinh\left(x\right)\underset{\scriptsize{x\longrightarrow+\infty}}{\approx}\frac{e^{x}}{2}\)
• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\tanh x\)
  
  • fonction impaire
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{\cosh^{2}\left(x\right)}=1-\tanh^{2}\left(x\right)\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=\ln\left|\cosh\left(x\right)\right|+C^{te}\)
  • points remarquables et comportement asymptotique:
    • \(\tanh\left(0\right)=0\)
    • \(\tanh\left(x\right)\underset{\scriptsize{x\longrightarrow+\infty}}{\approx}1-2e^{-x}\)
• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\textrm{cotanh}x\)
  
  • fonction impaire
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{\sinh^{2}\left(x\right)}=1-\textrm{cotanh}^{2}\left(x\right)\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=\ln\left|\sinh\left(x\right)\right|+C^{te}\)
  • points remarquables et comportement asymptotique:
    \(\underset{x\longrightarrow0^{+}}{\textrm{lim}}\textrm{cotanh}\left(x\right)=+\infty\) et \(\underset{x\longrightarrow0^{-}}{\textrm{lim}}\textrm{cotanh}\left(x\right)=-\infty\)
    • \(\textrm{cotanh}\left(x\right)\underset{\scriptsize{x\longrightarrow+\infty}}{\approx}1+2e^{-x}\)

6.5.2 Fonctions inverses

• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\textrm{argcosh}x\)
  
  • c'est la réciproque de la fonction \(x\longmapsto y=\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}+1}{2e^{x}}\) sur l'intervalle \(\left[1,+\infty\right[\)
    C'est donc la solution de l'équation du second degré:
    \[X^{2}-2yX+1=0\]
    en \(X=e^{x}\) valant \(1\) (pour \(x=0\)) si \(y=1\):
    \[X=y+\sqrt{y^{2}-1}\]
    En inversant les notations, on a donc:
    \[\boxed{f\left(x\right)=\textrm{argcosh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)}\]
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)\) compliquée
  • points remarquables et comportement asymptotique:
    • \(\textrm{argcosh}x\left(1\right)=0\)
    • \(\textrm{argcosh}\left(x\right)\underset{\scriptsize{x\longrightarrow+\infty}}{\approx}\ln\left(2x\right)\)
• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\textrm{argsinh}x\)
  
  • fonction impaire
  • c'est la réciproque de la fonction \(x\longmapsto y=\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^{x}}\) sur \(\mathbb{R}\)
    C'est donc la solution de l'équation du second degré:
    \[X^{2}-2yX-1=0\]
    en \(X=e^{x}\) valant \(1\) (pour \(x=0\)) si \(y=0\):
    \[X=y+\sqrt{y^{2}+1}\]
    En inversant les notations, on a donc:
    \[\boxed{f\left(x\right)=\textrm{argsinh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}\]
    dont on verifie l'imparité.
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)\) compliquée
  • points remarquables et comportement asymptotique:
    • \(\textrm{argsinh}\left(0\right)=0\)
    • \(\textrm{argsinh}\left(x\right)\underset{\scriptsize{x\longrightarrow+\infty}}{\approx}\ln\left(2x\right)\)
• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\textrm{argtanh}x\)
  
  • fonction impaire
  • c'est la réciproque de la fonction \(x\longmapsto y=\tanh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\) sur \(\mathbb{R}\)
    On en déduit que:
    \[e^{2x}=\frac{1+y}{1-y}\]
    En inversant les notations, on a donc:
    \[\boxed{f\left(x\right)=\textrm{argtanh}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}}\]
    dont on verifie l'imparité.
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{1-x^{2}}\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)\) compliquée
  • points remarquables et comportement asymptotique:
    • \(\textrm{argtanh}\left(0\right)=0\)
    • \(\textrm{argtanh}\left(x\right)\underset{\scriptsize{x\longrightarrow1^{-}}}{\approx}\frac{1}{2}\ln\frac{2}{1-x}\)

6.5.3 D.L. des fonctions cosinus et sinus hyperbolique au voisinage de \(x=0\)