6.3 Cosinus et sinus hyperboliques
6.3.1 Introduction
Si on prolonge les formules d'Euler de la même façon que la fonction exponentielle, on est conduit à:
\[\left\{ \begin{array}{l}\cos\frac{z}{i}=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\\\sin\frac{z}{i}=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2i}\end{array}\right.\]
de sorte que les fonctions cosinus et sinus de la variable complexe \(z\) restent resp. paire et impaire.
Si \(z=x\in\mathbb{R}\):
\[\left\{ \begin{array}{l}\cos\frac{x}{i}=\cos\left(ix\right)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\in\mathbb{R}\\\sin\frac{x}{i}=-\sin\left(ix\right)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2i}\in i\mathbb{R}\end{array}\right.\]
6.3.2 Fonctions trigonométriques hyperboliques directes
Les fonctions précédentes admettent une réciproque sur un intervalle restreint:
- Fonction cosinus hyperbolique (notée souvent \(ch\)):\[\cosh:\:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}\longrightarrow\left[1,+\infty\right[\\x\longmapsto\cosh x\end{array}\right.\]avec:\(\boxed{\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}}\) (\(=\cos\left(ix\right)\))
- Fonction sinus hyperbolique (notée souvent \(sh\)):\[\sinh:\:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto\sinh x\end{array}\right.\]avec:\(\boxed{\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}\) (\(=-i\sin\left(ix\right)\))
- Fonction tangente hyperbolique (notée souvent \(th\)):\[\textrm{\ensuremath{\tanh}}:\:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}\longrightarrow R\\x\longmapsto\textrm{\textrm{\ensuremath{\tanh}}}x\end{array}\right.\]avec:\(\boxed{\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\) (\(=-i\tan\left(ix\right)\))
- Fonction cotangente hyperbolique (notée souvent \(coth\)):\[\textrm{cotanh}:\:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}^{*}\longrightarrow R\\x\longmapsto\textrm{cotanh}x\end{array}\right.\]avec:\(\boxed{\textrm{cotanh}x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\) (\(=i\textrm{cotan}\left(ix\right)\))