6.2 Fonction exponentielle réelle et généralisation
6.2.1 Exponentielle réelle
La fonction exponentielle \(x\longmapsto f\left(x\right)=e^{x}\) est \(C^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)\) et a la particularité d'avoir des dérivées multiples égales à \(f\):
\[f^{\left(n\right)}\left(x\right)=f\left(x\right)=e^{x}\]
Il en résulte qu'un D.L. de la fonction exponentielle \(x\longmapsto f\left(x\right)=e^{x}\) au voisinage de \(x=0\) s'écrit:
\[\boxed{f\left(x\right)=e^{x}=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^{2}+...+\frac{1}{n!}x^{n}+o\left(x^{n}\right)}\]
6.2.2 Généralisation
On peut alors généraliser la fonction exponentielle à la fonction de la variable complexe \(z\):
\[f:\:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}\\z\longrightarrow f\left(z\right)=e^{z}\end{array}\right.\]
qui admet un D.L. au voisinage de \(z=0\) donné par:
\[\boxed{f\left(z\right)=e^{z}=1+\frac{1}{1!}z+\frac{1}{2!}z^{2}+...+\frac{1}{n!}z^{n}+o\left(\left|z\right|^{n}\right)}\]
En particulier, si \(z=ix\), où \(x\in\mathbb{R}\) est imaginaire pur, au voisnange de \(y=0\):
\[f\left(ix\right)=e^{ix}=1+\frac{1}{1!}\left(ix\right)+...+\frac{1}{2!}\left(ix\right)^{2}+...+\frac{1}{n!}\left(ix\right)^{n}+o\left(\left|x\right|^{n}\right)\]
6.2.3 D.L. des fonctions cosinus et sinus au voisinage de \(x=0\)
En appliquant l'une des \(2\) formules d'Euler:
\[e^{ix}=\cos x+i\sin x\]
Puisque \(x\in\mathbb{R}\) entraîne que \(\cos x\) et \(\sin x\) sont réels, en notant \(p\) le quotient de la division euclidienne de \(n\) par \(2\):
\[\cos x=Re\left[e^{ix}\right]=1+\frac{1}{2!}\left(ix\right)^{2}+\frac{1}{4!}\left(ix\right)^{4}+...+\frac{1}{\left(2p\right)!}\left(ix\right)^{2p}+o\left(\left|x\right|^{2p+1}\right)\]
soit:
\[\boxed{\cos x=1-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{4!}x^{4}+...+\frac{\left(-1\right)^{p}}{\left(2p\right)!}x^{2p}+o\left(\left|x\right|^{2p+1}\right)}\]
De même:
\[\sin x=Im\left[e^{ix}\right]=\frac{1}{1!}\left(ix\right)+\frac{1}{3!}\left(ix\right)^{3}+...+\frac{1}{\left(2p+1\right)!}\left(ix\right)^{2p+1}+o\left(\left|x\right|^{2p+2}\right)\]
soit:
\[\boxed{\sin x=x-\frac{1}{3!}x^{3}+...+\frac{\left(-1\right)^{p}}{\left(2p+1\right)!}x^{2p+1}+o\left(\left|x\right|^{2p+2}\right)}\]
On notera que ces D.L. au voisinage de \(x=0\) sont cohérents avec resp. la parité et l'imparité des fonctions cosinus et sinus.