4.3 Caractérisation des fonctions trigonométriques usuelles

4.3.1 Fonctions directes

• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\cos x\)
  
  • fonction \(2\pi\) périodique, paire
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\)\(\left(x\right)\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+C^{te}=\sin\left(x\right)+C^{te}\)
  • points remarquables:
    • \(\cos\left(0\right)=1\)
    • \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)
    • \(\cos\left(\pi\right)=-1\)
    • \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0\)
• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\sin x\)
  
  • fonction \(2\pi\) périodique, impaire
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\)\(\left(x\right)\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+C^{te}=-\cos\left(x\right)+C^{te}\)
  • points remarquables:
    • \(\sin\left(0\right)=0\)
    • \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\)
    • \(\sin\left(\pi\right)=-0\)
    • \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1\)
• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\tan x\)
  
  • fonction \(\pi\) périodique, impaire
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2}\left(x\right)}=1+\tan^{2}\left(x\right)\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=\ln\left|\cos\left(x\right)\right|+C^{te}\)
  • points remarquables:
    • \(\tan\left(0\right)=0\)
    • \(\underset{x\longrightarrow\frac{\pi}{2}^{-}}{\textrm{lim}}\tan\left(x\right)=+\infty\)
• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\textrm{cotan}x\)
  
  • fonction \(\pi\) périodique, impaire
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{\sin^{2}\left(x\right)}=1+\textrm{cotan}^{2}\left(x\right)\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=\ln\left|\sin\left(x\right)\right|+C^{te}\)
  • points remarquables:
    • \(\underset{x\longrightarrow0^{+}}{\textrm{lim}}\textrm{cotan}\left(x\right)=+\infty\)
    • \(\textrm{cotan}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)

4.3.2 Fonctions inverses

• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\textrm{arccos}x\)
  
  • c'est la réciproque de la fonction \(x\longmapsto\cos x\) sur l'intervalle \(\left[0,\pi\right[\) (la translatée \(x\longmapsto\textrm{arccos}x-\frac{\pi}{2}\) est impaire)
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=x\textrm{arccos}x-\sqrt{1-x^{2}}+C^{te}\)
  • points remarquables:
    • \(\textrm{arcos}\left(0\right)=\frac{\pi}{2}\)
    • \(\textrm{arcos}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)
    • \(\textrm{arcos}\left(1\right)=0\)
• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\textrm{arcsin}x\)
  
  • c'est la réciproque de la fonction \(x\longmapsto\sin x\) sur l'intervalle \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), elle est impaire
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=x\textrm{arcsin}x+\sqrt{1-x^{2}}+C^{te}\)
  • points remarquables:
    • \(\textrm{arcsin}\left(0\right)=\frac{\pi}{2}\)
    • \(\textrm{arcsin}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)
    • \(\textrm{arcsin}\left(1\right)=\frac{\pi}{2}\)
• \(x\longmapsto f\left(x\right)=\textrm{arctan}x\)
  
  • c'est la réciproque de la fonction \(x\longmapsto\textrm{arctan}x\) sur l'intervalle \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), elle est impaire
  • dérivée: \(x\longmapsto f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{1+x^{2}}\)
  • primitive: \(x\longmapsto F\left(x\right)=x\textrm{arctan}x-\frac{1}{2}\ln\left(1+x^{2}\right)+C^{te}\)
  • points remarquables:
    • \(\textrm{arctan}\left(0\right)=0\)
    • \(\textrm{arctan}\left(1\right)=\frac{\pi}{4}\)
    • \(\underset{x\longrightarrow+\infty}{\textrm{lim}}\textrm{arctan}\left(x\right)=\frac{\pi}{2}\)