4.4 Trigonométrie dans le plan et nombres complexes
4.4.1 Nombre complexe et affixe
\(\forall z\in\mathbb{C}\), posons:
\[\left\{ \begin{array}{l}x=Re\left(z\right)\\y=Im\left(z\right)\end{array}\right.\]
Considérons un plan affine euclidien \(\mathcal{E}_{2}\) d'origine \(O\) et muni de la base orthonormée directe \(B=\left(\overrightarrow{e}_{x},\overrightarrow{e}_{y}\right)\).
Pour tout point \(M\in\mathcal{E}_{2}\):
\[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{e}_{x}+y\overrightarrow{e}_{y}\]
qui est l'image d'un unique nombre complexe:
\[\varphi:\:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{C}\longrightarrow\mathcal{E}_{2}\\z\longmapsto\varphi\left(z\right)=M\end{array}\right.\]
avec:
\[z=x+iy\]
Réciproquement, \(M\) sera appelé représentation géométrique de \(M\) dans le plan complexe:
- \(Ox=\left(O,\overrightarrow{e}_{x}\right)\) est l'axe réel car \(x=Re\left(z\right)\)
- \(Oy=\left(O,\overrightarrow{e}_{y}\right)\) est l'axe imaginaire car \(y=Im\left(z\right)\)
4.4.2 Formule d'Euler
Si on introduit la fonction scalaire:
\[f:\theta\longmapsto\cos\theta+i\sin\theta\]
celle-ci est:
- de module \(1\)
- valide l'équation différentielle linéaire du \(1^{\textrm{er}}\) ordre à coefficients constants:\[f^{\prime}\left(\theta\right)=-\sin\theta+i\cos\theta=i\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)=if\left(\theta\right)\]avec:\[f\left(0\right)=1\]
La solution validant ces contraintes est donc:
\[f\left(\theta\right)=e^{i\theta}\]
On en déduit les formules d'Euler:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\\e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\end{array}\right.}\]
qui s'inversent en:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\end{array}\right.}\]
4.4.3 Les \(2\) écritures d'un nombre complexe
Soit \(z\in\mathbb{C}\) non nul.
On peut donc l'écrire:
- à l'aide de ses parties réelle et imaginaire:\[z=x+iy\]qui s'interprète dans le plan complexe par les coordonnées dans la base \(B\) orthonormée:\[\left\{ \begin{array}{l}x=\overline{OK}=OM\cos\theta\\y=\overline{OH}=OM\sin\theta\end{array}\right.\]où \(\theta=\left(Ox,OM\right)\).
- à l'aide de son module et argument (modulo \(2\pi\)):\[\boxed{z=x+iy=ae^{i\theta}}\]où \(a\) est strictement positif, qui s'interprète si \(x\) est non nulle dans le plan complexe par les coordonnées dans la base \(B\) orthonormée:\[\left\{ \begin{array}{l}\left|z\right|=a=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\\tan\theta=\frac{y}{x}\end{array}\right.\]On prolonge au cas où \(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\) (modulo \(\pi\)) selon le signe de \(y\).
4.4.4 Addition de \(2\) nombres complexes
Intéressons-nous à l'addition de \(2\) nombres complexes:
\[\left\{ \begin{array}{l}z_{1}=a_{1}e^{i\theta_{1}}\\z_{2}=a_{2}e^{i\theta_{2}}\end{array}\right.\]
Ils peuvent être interprétés comme les affixes des vecteurs:
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{OM_{1}}=a_{1}\cos\theta_{1}\overrightarrow{e}_{x}+a_{1}\sin\theta_{1}\overrightarrow{e}_{y}\\\overrightarrow{OM_{2}}=\overrightarrow{M_{1}M}=a_{2}\cos\theta_{2}\overrightarrow{e}_{x}+a_{2}\sin\theta_{2}\overrightarrow{e}_{y}\end{array}\right.\]
Le calcul du module \(a\) et de l'argument \(\varphi\) du nombre complexe:
\[z=z_{1}+z_{2}\]
peut s'effectuer directement avec profit de la façon suivante:
\[z=a_{1}e^{i\theta_{1}}+a_{2}e^{i\theta_{2}}=e^{i\theta_{1}}\left(a_{1}+a_{2}e^{i\varphi}\right)=e^{i\theta_{1}}w\]
en ayant introduit:
\[\varphi=\theta_{2}-\theta_{1}\]
On a donc:
\[\left\{ \begin{array}{l}a^{2}=\left|z\right|^{2}=zz^{*}=\left(a_{1}+a_{2}e^{i\varphi}\right)\left(a_{1}+a_{2}e^{-i\varphi}\right)=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos\varphi\\\theta=\theta_{1}+\chi\end{array}\right.\]
avec:
\[\tan\chi=\frac{Im\left(w\right)}{Re\left(w\right)}=\frac{a_{2}\sin\varphi}{a_{1}+a_{2}\cos\varphi}\]
On a donc:
\[z=z_{1}+z_{2}=ae^{i\theta}\]
avec:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}a=\left|z\right|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)}\\\theta=\theta_{1}+\chi\end{array}\right.}\]
avec:
\[\boxed{\tan\chi=\frac{a_{2}\sin\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)}{a_{1}+a_{2}\cos\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)}}\]
4.4.5 Cas particulier de l'addition de \(2\) nombres complexes de même module
Intéressons-nous à l'addition de \(2\) nombres complexes de même module \(a_{0}\):
\[\left\{ \begin{array}{l}z_{1}=a_{0}e^{i\theta_{1}}\\z_{2}=a_{0}e^{i\theta_{2}}\end{array}\right.\]
Ils peuvent pêtre interprétés comme les affixes des vecteurs:
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{OM_{1}}=a_{0}\cos\theta_{1}\overrightarrow{e}_{x}+a_{0}\sin\theta_{1}\overrightarrow{e}_{y}\\\overrightarrow{OM_{2}}=\overrightarrow{M_{1}M}=a_{0}\cos\theta_{2}\overrightarrow{e}_{x}+a_{0}\sin\theta_{2}\overrightarrow{e}_{y}\end{array}\right.\]
Le calcul du module \(a\) et de l'argument \(\varphi\) du nombre complexe:
\[z=z_{1}+z_{2}\]
peut s'effectuer directement avec profit de la façon suivante:
\[z=a_{0}e^{i\theta_{1}}+a_{0}e^{i\theta_{2}}=e^{i\theta_{1}}\left(a_{0}+a_{0}e^{i\varphi}\right)=e^{i\theta_{1}}w\]
en ayant introduit:
\[\varphi=\theta_{2}-\theta_{1}\]
On a donc:
\[\left\{ \begin{array}{l}a^{2}=\left|z\right|^{2}=zz^{*}=a_{0}^{2}\left(1+e^{i\varphi}\right)\left(1+e^{-i\varphi}\right)=2a_{0}^{2}\left(1+\cos\varphi\right)\\\theta=\theta_{1}+\chi\end{array}\right.\]
avec:
\[\tan\chi=\frac{+Im\left(w\right)}{Re\left(w\right)}=\frac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi}=\frac{2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}}{2\cos^{2}\frac{\varphi}{2}}=\tan\frac{\varphi}{2}\]
On a donc:
\[z=z_{1}+z_{2}=ae^{i\theta}\]
avec:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}a=\left|z\right|=\sqrt{2a_{0}^{2}+2a_{0}^{2}\cos\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)}=2a_{0}\left|\cos\left(\frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{2}\right)\right|\\\theta=\theta_{1}+\frac{\varphi}{2}=\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}\end{array}\right.}\]
Remarquons que \(a\) ne dépend que de \(\varphi=\theta_{2}-\theta_{1}\) car les nombres complexes \(z=e^{i\theta_{1}}w\) et \(w\) ont même module (ils ne diffèrent que «d'un terme de phase»).