3.3 Angle en radian
3.3.1 Définition
Considérons \(2\) demi-droites \(Ox=\left(O,\overrightarrow{e}_{x}\right)\) et \(Ox^{\prime}=Ox=\left(O,\overrightarrow{e}_{x^{\prime}}\right)\) concourantes en \(O\).
On peut repérer \(M\in C_{O,R}\) par la fonction \(M\longmapsto\theta_{1,\left[rad\right]}\left(M\right)\) dont l'image appartient à \(\left[0,2\pi\right[\):
\[\theta_{1,\left[rad\right]}\left(M\right)=\frac{\ensuremath{\overset{\frown}{AM}}}{R}\]
où \(\ensuremath{\overset{\frown}{AM}}\) est la longueur de l'arc mené de \(A\) à \(M\) sur \(C_{O,R}\).
\(\theta_{1,\left[rad\right]}\left(M\right)\) est indépendant du choix de \(R\) et ne dépend que de la direction des demi-droites \(Ox\) et \(Ox^{\prime}\).
Il désigne:
- l'angle entre les demi-droites \(Ox\) et \(Ox^{\prime}\)
- l'angle entre les vecteurs \(\overrightarrow{e}_{x}\) ou \(\overrightarrow{e}_{x^{\prime}}\)
- l'angle entre les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) ou \(\overrightarrow{u}^{\prime}\) (s'ils sont colinéaires de même sens resp. à \(\overrightarrow{e}_{x}\) et \(\overrightarrow{e}_{x^{\prime}}\)).
3.3.2 Angle droit et orthogonalité
Considérons 2 droites \(\left(D_{\alpha}\right)\) et \(\left(D_{\beta}\right)\) concourantes en \(O\).
Elles déterminent \(4\) angles consécutifs deux à deux égaux.
Lorsqu'ils sont tous égaux, chacun d'eux détermine un angle droit égal à \(\frac{\pi}{2}\) radian.
3.3.3 Angle modulo \(2\pi\)
Mais il est possible également de le repérer par l'application \(M\longmapsto\theta_{n,\left[rad\right]}\left(M\right)\) dont l'image appartient à \(\left[2\pi n,2\pi\left(n+1\right)\right[\) avec:
\[\theta_{n,\left[rad\right]}\left(M\right)=\theta_{1,\left[rad\right]}\left(M\right)+2n\pi\]
où \(n\in\mathbb{Z}\).
On peut donc interpréter un angle comme une classe d'équivalence: \(2\) angles sont équivalents s'ils repèrent le même point \(M\) sur \(C_{O,R}\).
Autrement dit, un angle en radian est défini modulo \(2\pi\).