1.6 Quelques propriétés fondamentales
1.6.1 Inégalité de cauchy-Schwarz
\(\forall\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in E_{n}\), avec \(\overrightarrow{u}\) non nul, intéressons-nous au polynôme:
\[P_{2}:\:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\X\longmapsto P_{2}\left(X\right)\end{array}\right.\]
avec:
\[P_{2}\left(X\right)=\left(X\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)^{2}=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}^{2}X^{2}+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}X+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert _{n}^{2}\]
La positivité de \(P_{2}\) exige donc que le discriminant réduit soit négatif:
\[\triangle^{\prime}=\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)^{2}-\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}^{2}\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert _{n}^{2}\leq0\]
On en déduit l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
\[\boxed{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right|\leq\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert _{n}}\]
1.6.2 Inégalité triangulaire
Remarquons que:
\[P_{2}\left(1\right)=\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)^{2}=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}^{2}+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert _{n}^{2}\]
Avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
\[\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)^{2}=\left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert _{n}^{2}\leq\left(\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert _{n}\right)^{2}\]
soit l'inégalité triangulaire:
\[\boxed{\left\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert _{n}\leq\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert _{n}}\]