3.2 Spectre (discret) d'un signal réel \(T\)-périodique (résultats partiques)
3.2.1 Décomposition spectrale
Appliquons les résultats précédents à l'étude d'un signal temporel, une tension par exemple.
Il s'agit donc d'un signal réel.
L'analyse de Fourier d'un signal réel \(T\)-périodique permet de le représenter comme la superposition discrète d'un ensemble de signaux harmoniques de fréquences \(\left\{ 0,\nu_{1},2\nu_{1},...\right\} \) isomorphe à \(\mathbb{N}\):
\[\boxed{\bar{f}\left(t\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}\left(t\right)=c_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}\cos\left(2\pi\nu_{n}t\right)+b_{n}\sin\left(2\pi\nu_{n}t\right)}\]
où avec, \(\alpha\) étant un paramètre réel arbitraire:
- \(u_{0}\left(t\right)=c_{0}\) est la partie continue du signal, qui s'identifie à sa moyenne temporelle:\[\boxed{c_{0}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left(t\right)dt}\]
- \(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\), \(u_{n}\left(t\right)=a_{n}\cos\left(2\pi\nu_{n}t\right)+b_{n}\sin\left(2\pi\nu_{n}t\right)\) caractérise la contribution à \(\bar{f}\) de l'harmonique de rang \(n\) de fréquence \(\boxed{\nu_{n}=n\nu_{1}=\frac{n}{T}}\):\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}a_{n}=\frac{2}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left(t\right)\cos\left(2\pi\nu_{n}t\right)dt\\b_{n}=\frac{2}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left(t\right)\sin\left(2\pi\nu_{n}t\right)dt\end{array}\right.}\]où \(\nu_{1}=\frac{1}{T}\) est appelée fréquence fondamentale.
3.2.2 Autres représentations
Remarquons que:
\[\bar{f}\left(t\right)=c_{0}+\textrm{Re}\left\{ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n}-jb_{n}\right)e^{j2\pi\nu_{n}t}\right\} \]qui se met donc sous la forme:
\[\boxed{\bar{f}\left(t\right)=c_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left|c_{n}\right|\cos\left(2\pi\nu_{n}t+\varphi_{n}\right)}\]
avec, \(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\):
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\left|c_{n}\right|=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\\\tan\varphi_{n}=-\frac{b_{n}}{a_{n}}\end{array}\right.}\]
Remarquons également que:
\[\bar{f}\left(t\right)=c_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}\frac{e^{j2\pi\nu_{n}t}+e^{-j2\pi\nu_{n}t}}{2}+b_{n}\frac{e^{j2\pi\nu_{n}t}-e^{-j2\pi\nu_{n}t}}{2j}\]
qui se met sous la forme:
\[\boxed{\bar{f}\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}e^{j2\pi\nu_{n}t}}\]
avec, \(\forall n\in\mathbb{Z}\):
\[c_{n}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left(t\right)e^{-j2\pi n\frac{t}{T}}dt\]
et:
\[\boxed{c_{-n}=c_{n}^{*}}\]
3.2.3 Représentation spectrale en amplitude
La décomposition spectrale de \(\bar{f}\) (identifiable à \(f\) en tout point où elle est continue) nécessite de connaître:
- la période \(T\)
- la moyenne temporelle \(c_{0}\)
- les coefficients \(\left(a_{n},b_{n}\right)\) pour toutes les harmoniques à partir de la fondamentale
On peut donc représenter \(\bar{f}\) par les ensembles équivalents de deux graphes:
- \(\nu\longmapsto c_{0}\delta_{\nu}^{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}\delta_{\nu}^{\nu_{n}}\) et \(\nu\longmapsto\sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}\delta_{\nu}^{\nu_{n}}\)
- \(\nu\longmapsto\left|c_{0}\right|\delta_{\nu}^{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left|c_{n}\right|\delta_{\nu}^{\nu_{n}}\) et \(\nu\longmapsto\sum_{n=1}^{+\infty}arg\left(c_{0}\right)\delta_{\nu}^{\nu_{n}}\)
- \(\nu\longmapsto\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left|c_{n}\right|\delta_{\nu}^{\nu_{n}}\) et \(\nu\longmapsto\sum_{n=-\infty}^{+\infty}arg\left(c_{n}\right)\delta_{\nu}^{\nu_{n}}\)
qui ne mettent en jeu qu'un ensemble de fréquences discrètes équidistantes.
3.2.4 Représentation spectrale en puissance
Supposons qu'il existe une constante \(K\) pour laquelle:
\[P\left(t\right)=Kf^{2}\left(t\right)\]
s'interprète comme la puissance du signal réel \(f\).
\(f\) étant \(T\)-périodique réelle, la puissance moyenne se calcule par:
\[\overline{P}=K\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f^{2}\left(t\right)dt=Kf_{eff}^{2}\]
où \(f_{eff}\) est la vealeur efficace qui est donc la moyenne quadratique de \(f\) sur une période:
\[f_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f^{2}\left(t\right)dt}\]
Le théorème de Parseval indique donc que:
\[\overline{P}=\sum_{n=0}^{+\infty}P_{n}\]
avec:
- pour la contribution à la composante continue:\[P_{0}=Kc_{0}^{2}\]
- pour la contribution de l'harmonique d'ordre \(n>0\):\[P_{n}=K\frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{2}=K\frac{\left|c_{n}\right|^{2}}{2}\]
On peut donc représenter le spectre de puissance de \(\bar{f}\) par le graphe (mais qui ne permet pas d'accéder à la phase \(\varphi_{n}\)):
\[\nu\longmapsto\sum_{n=0}^{+\infty}P_{n}\delta_{\nu}^{\nu_{n}}\]
(on peut le donner en faisant formellement \(K=1\))