3.3 Spectre (continu) d'un signal réel appartenant à \(L^{1}\left(\mathbb{R}\right)\)
3.3.1 Décomposition spectrale
L'analyse de Fourier d'un signal réel \(f\) appartenant à \(L^{1}\left(\mathbb{R}\right)\) permet de le représenter comme la superposition continue d'un ensemble non dénombrable de signaux harmoniques répartis sur tout l'ensemble \(\mathbb{R}^{+}\).
\[\boxed{\bar{f}\left(t\right)=\int_{0}^{+\infty}du_{\nu}\left(t\right)=\int_{0}^{+\infty}da_{\nu}\cos\left(2\pi\nu t\right)+db_{\nu}\sin\left(2\pi\nu t\right)}\]
où, \(\alpha\) étant un paramètre réel arbitraire.
Pour \(\nu\in\mathbb{R}^{+*}\), \(du_{\nu}\left(t\right)=da_{\nu}\cos\left(2\pi\nu t\right)+db_{\nu}\sin\left(2\pi\nu t\right)\) caractérise la contribution à \(\bar{f}\) de la bande spectrale en fréquences \(\left[\nu,\nu+d\nu\right]\):
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{da_{\nu}}{d\nu}=2\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(t\right)\cos\left(2\pi\nu t\right)dt\\\frac{db_{\nu}}{d\nu}=2\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(t\right)\sin\left(2\pi\nu t\right)dt\end{array}\right.\]
qui met en jeu des intégrales appelées transformations de Fourier en cosinus et sinus.
Remarque 1:
Il n'y a pas de terme en \(c_{0}\) constant car une fonction constante n'appartient pas à \(L^{1}\left(\mathbb{R}\right)\).
Remarque 2:
Le spectre est donc continu: les fréquences présentes dans le spectre recouvrent a priori \(\mathbb{R}^{+*}\) et forment un ensemble non dénombrable (on ne peut pas compter les fréquences dans \(\left[\nu,\nu+d\nu\right]\), contrairement au spectre discret d'une fontion \(T\)-périodique par exemple).
3.3.2 Autres représentations
Remarquons que:
\[\bar{f}\left(t\right)=\textrm{Re}\left\{ \left[da_{\nu}-jdb_{\nu}\right]e^{j2\pi\nu t}\right\} \]qui se met donc sous la forme:
\[\boxed{\bar{f}\left(t\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left|dc_{\nu}\right|\cos\left(2\pi\nu t+\varphi_{\nu}\right)}\]
avec, \(\forall n\in\mathbb{R}^{+*}\):
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\left|dc_{\nu}\right|=\sqrt{da_{\nu}^{2}+db_{\nu}^{2}}\\\tan\varphi_{\nu}=-\frac{db_{\nu}}{da_{\nu}}\end{array}\right.}\]
Remarquons également que:
\[\bar{f}\left(t\right)=\int_{0}^{+\infty}\left[da_{\nu}\frac{e^{j2\pi\nu t}+e^{-j2\pi\nu t}}{2}+db_{\nu}\frac{e^{j2\pi\nu t}-e^{-j2\pi\nu t}}{2j}\right]\]
qui se met sous la forme:
\[\boxed{\bar{f}\left(t\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}dc_{\nu}e^{j2\pi\nu t}}\]
avec, \(\forall\nu\in\mathbb{R}\):
\[\boxed{\frac{dc_{\nu}}{d\nu}=\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(t\right)e^{-j2\pi\nu t}dt}\]
et:
\[\boxed{dc_{-\nu}=dc_{\nu}^{*}}\]
3.3.3 Représentation spectrale en amplitude
La décomposition spectrale de \(\bar{f}\) (identifiable à \(f\) en tout point où elle est continue) nécessite de connaître équivalemment :
- les densités spectrales en fréquence\(\left(\frac{da_{\nu}}{d\nu},\frac{db_{\nu}}{d\nu}\right)\)
- la densité spectrale en fréquence \(\frac{dc_{\nu}}{d\nu}\)
On peut donc représenter \(\bar{f}\) par les ensembles équivalents de deux graphes:
- \(\nu\longmapsto\frac{da_{\nu}\left(\nu\right)}{d\nu}\) et \(\nu\longmapsto\frac{db_{\nu}\left(\nu\right)}{d\nu}\)
- \(\nu\longmapsto\left|\frac{dc_{\nu}\left(\nu\right)}{d\nu}\right|\) et \(\nu\longmapsto arg\left(\frac{dc_{\nu}\left(\nu\right)}{d\nu}\right)\)
qui mettent en jeu tout le spectre continu.
3.3.4 Représentation spectrale en énergie
En toute rigueur, elle exige en définitive seulement que \(f\in L^{2}\left(\mathbb{R}\right)\) (ce qui est moins restrictif).
Supposons qu'il existe une constante \(K\) pour laquelle:
\[P\left(t\right)=Kf^{2}\left(t\right)\]
s'interprète comme la puissance associée au signal réel \(f\).
\(f\) étant \(T\)-périodique réelle, l'énergie du signal (on vérifie l'homogénéïté) se calcule par:
\[\boxed{E=K\int_{-\infty}^{+\infty}f^{2}\left(t\right)dt=K\left\Vert f\right\Vert _{2}^{2}}\]
où:
\[\left\Vert f\right\Vert _{2}=\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}f^{2}\left(t\right)dt}\]
Le théorème de Parseval indique donc que:
\[\boxed{E=\int_{0}^{+\infty}dE_{\nu}}\]
avec, pour la contribution de la bande de fréquence \(\left[\nu,\nu+d\nu\right]\) dans \(\mathbb{R}^{+*}\):
\[\boxed{dE_{\nu}=I_{\nu}d\nu}\]
où \(I_{\nu}\) est la densité spectrale en fréquence du signal avec:
\[I_{\nu}=\frac{dE_{\nu}}{d\nu}=\frac{K}{2}\left[\left(\frac{da_{\nu}}{d\nu}\right)^{2}+\left(\frac{db_{\nu}}{d\nu}\right)^{2}\right]=\frac{K}{2}\left|\frac{dc_{\nu}}{d\nu}\right|^{2}\]
On peut donc représenter le spectre énergétique de \(\bar{f}\) par le graphe (mais qui ne permet pas d'accéder à la phase \(\varphi_{n}\)):
\[\nu\longmapsto I_{\nu}=\frac{dE_{\nu}}{d\nu}\]
(on peut le donner en faisant formellement \(K=1\))