2.2 Produit scalaire hermitien (complément)
2.2.1 Définition
La forme:
\[\left\langle |\right\rangle :\left\{ \begin{array}{l}L^{2}\left(T\right)\times L^{2}\left(T\right)\longrightarrow\mathbb{C}\\\left(f,g\right)\longmapsto\left\langle f|g\right\rangle _{T}\end{array}\right.\]
avec:
\[\boxed{\left\langle f|g\right\rangle _{T}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f^{*}\left(t\right)g\left(t\right)dt}\]
constitue un produit scalaire hermitien.
En effet, elle est:
- sesquilinéaire (linéaire à droite, et linéaire avec conjugaison à gauche)
- hermitienne (symétrique avec conjugaison):\[\left\langle g|f\right\rangle _{T}=\left\langle f|g\right\rangle _{T}^{*}\]
- définie positive
On peut alors lui associer la norme\(\left\Vert \right\Vert _{T}\)\(,\)avec:
\[\boxed{\left\Vert f\right\Vert _{T}^{2}=\left\langle f|f\right\rangle _{T}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}\left|f\left(t\right)\right|^{2}dt}\]
2.2.2 Espace de Hilbert \(L^{2}(T)\)
L'espace \(L^{2}(T)\), muni du produit scalaire hermitien précédent, peut être approché très qualitativement par référence aux espaces vectoriels euclidiens sur \(\mathbb{R}\) (de dimension finie):
- en se plongeant dans des espaces Préhilbertiens de dimension finie (on adapte le produit scalaire à un espace vectoriel sur \(\mathbb{C}\))
- en transposant à une dimension infinie
Le concept mathématique approprié est l'espace de Hilbert (qui ne sera bien sûr pas détaillé ici).
Introduisons la fonction:
\[e_{n}:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\\t\longmapsto e_{n}\left(t\right)=e^{j2\pi n\frac{t}{T}}\end{array}\right.\]
En effet, \(L^{2}(T)\) est de dimension infinie dont les fonctions exponentielles complexes \(\left\{ e_{n}\right\} _{n\in\mathbb{Z}}\) forme une base de Hilbert, avec, \(\forall m,n\in\mathbb{Z}\):
\[\left\langle e_{m}|e_{n}\right\rangle _{T}=\delta_{m}^{n}\]
où \(\delta_{m}^{n}\) est le symbole de Kronecker de sorte que la famille \(\left\{ e_{n}\right\} _{n\in\mathbb{Z}}\) est orthonormée.
Remarquons alors que, \(\forall f\in L^{1}(T)\):
\[\left\langle e_{m}|f\right\rangle _{T}=c_{m}\]
Si l'on revient au théorème de Dirichlet:
\[\overline{f}\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}e^{j2\pi n\frac{t}{T}}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left\langle e_{n}|f\right\rangle _{T}e_{n}\]
Puisque \(\overline{f}\) ne diffère de \(f\) que sur un «ensemble de mesure nulle», on peut les confondre dans le calcul qui suit:
\[\left\langle \sum_{m=-\infty}^{+\infty}c_{m}e_{m}|\sum_{c=-\infty}^{+\infty}c_{n}e_{n}\right\rangle _{T}=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{m}^{*}c_{n}\left\langle e_{m}|e_{n}\right\rangle _{T}=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{m}^{*}c_{n}\delta_{m}^{n}\]
qui permet donc de retrouver de façon qualitative le théorème de Parseval:
\[\left\Vert f\right\Vert _{T}^{2}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}\left|f\left(t\right)\right|^{2}dt=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left|c_{n}\right|^{2}\]