2.3 Analyse en série de Fourier d'une fonction sur un intervalle (résultats utiles)
2.3.1 Définition
Le plus souvent, on s'intéresse à une fonction non nécessairement périodique.
On se restreint alors à un intervalle \(I=\left[t_{1},t_{2}\right]\) de durée:
\[T=t_{2}-t_{1}\]
On appelle série de Fourier de \(f\) sur l'intervalle \(I=\left[t_{1},t_{2}\right[\) la série de Fourier associée à \(f_{I}\):
- qui s'identifie à \(f\) sur \(I\)
- prolongée de \(f\) par \(T\)-périodicité
On a donc, dans \(I\):
\[\overline{f}\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}e^{j2\pi n\frac{t}{T}}\]
avec:
\[c_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{1}}^{t_{2}}f\left(t\right)e^{-j2\pi n\frac{t}{T}}dt\]
où les bornes sont impératives.
2.3.2 Remarque pratique
La carte d'acquisition d'un signal \(t\longmapsto u\left(t\right)\) (généralement une tension) en TP propose un module «analyse harmonique».
Il nécessite en préalable de choisir un intervalle de temps \(\left[t_{1},t_{2}\right[\) et évalue numériquement les coefficients de Fourier comme précédemment, i.e. qu'il s'intéresse à une évaluation numérique de la série de Fourier associée à \(u\) dans l'intervalle \(I\).
Evidemment, on n'obtient qu'un résultat approché (voir transformée de fourier discrète) qu'il faut savoir interpréter, eu égard au fait que l'on ne dispose que d'un échantillonnage de \(u\) à la fréquence \(\nu_{e}=\frac{1}{\tau_{e}}\), où \(\tau_{e}<T=t_{2}-t_{1}\) est la durée séparant la prise de \(2\) échantillons successifs de \(u\).