Par défaut, on considèrera que \(f\) est une fonction du temps: \(t\) est donc une variable dimensionnée.

Soit \(f\) une fonction \(T\)-périodique à valeurs dans \(\mathbb{C}\), appartenant à \(L^{1}\left(T\right)\), i.e. pour laquelle:

\[\int_{0}^{T}\left|f\left(t\right)\right|dt<+\infty\]

Si \(f\) est réelle, la somme partielle de Fourier associée est donnée par la fonction \(T\)-périodique \(t\longmapsto S_{f,N}\left(t\right)\) de paramètre \(N\) entier:

\[S_{f,N}\left(t\right)=c_{0}+\sum_{n=1}^{N}a_{n}\cos\left(2\pi n\frac{t}{T}\right)+b_{n}\sin\left(2\pi n\frac{t}{T}\right)\]

avec, \(\alpha\) étant un paramètre réel arbitraire:

\[\boxed{c_{0}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left(t\right)dt}\]

qui n'est rien d'autre qu la moyenne de \(f\) sur une période \(T\) .

\(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\) et indépendamment de \(\alpha\) (\(f\) est \(T\)-périodique):

\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}a_{n}=\frac{2}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left(t\right)\cos\left(2\pi n\frac{t}{T}\right)dt\\b_{n}=\frac{2}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left(t\right)\sin\left(2\pi n\frac{t}{T}\right)dt\end{array}\right.}\]

On s'intéresse à la convergence simple de \(S_{f,N}\), i.e. à \(t\in\mathbb{R}\) fixé, à la limite où \(N\longrightarrow+\infty\).

Le théorème de Dirichlet stipule que, si \(f\) est \(C^{1}\) par morceaux, alors \(S_{f,N}\) converge simplement vers \(\overline{f},\)avec:

\[\boxed{\overline{f}\left(t\right)=\frac{f\left(t^{-}\right)+f\left(t^{-}\right)}{2}}\]

En particulier, en tout point où \(f\) est continue, \(S_{f,N}\) converge simplement vers \(f\).

On écrira alors, par commodité:

\[\boxed{\overline{f}\left(t\right)=c_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}\cos\left(2\pi n\frac{t}{T}\right)+b_{n}\sin\left(2\pi n\frac{t}{T}\right)}\]

voire, en dehors des points de discontinuité de \(f\):

\[f\left(t\right)=c_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}\cos\left(2\pi n\frac{t}{T}\right)+b_{n}\sin\left(2\pi n\frac{t}{T}\right)\]

\(S_{f,N}\) converge uniformément vers \(f\), i.e. dans un intervalle \(\left]I=t_{1},t_{2}\right[\) où \(f\) est continue.

Ce résultat a des conséquences pratiques visibles.

Lorsque l'on cherche à approcher \(\bar{f}\) numériquement par sa somme partielle de Fourier \(S_{N}\), on constate qu'une valeur de \(N\) élevée est nécessaire pour approcher correctement \(f\) au voisinage d'un point de discontinuité.

On observe que \(S_{N}\) peut être sensiblement plus élevée que \(f\) dans cette région (phénomène de Gibbs).

En dépit de son importance théorique incontournable, on peut remarquer que, d'un point de vue pratique, il faudra évaluer un grand nombre de termes inutilement, dans une zone où l'on sait par avance que \(f\) est nulle dans un intervalle donné.

Par exemple, la représentation en intégrale de Fourier d'une fonction porte de durée \(T\), qui s'annule en dehors de l'intervalle \(I=\left[-\frac{T}{2},+\frac{T}{2}\right]\), nécessitera des calculs numériques inutiles pour être approchée correctement en dehors de \(I\).

La décomposition en ondelettes, dont il ne sera pas question ici, résout en partie cette difficulté.

Soit \(f\) une fonction \(T\)-périodique à valeurs dans \(\mathbb{C}\), appartenant à \(L^{1}\left(T\right)\), i.e. pour laquelle:

\[\int_{0}^{T}\left|f\left(t\right)\right|dt<+\infty\]

La somme partielle de Fourier associée est donnée par la fonction \(T\)-périodique \(t\longmapsto S_{f,N}\left(t\right)\) de paramètre \(N\) entier:

\[S_{f,N}\left(t\right)=\sum_{n=-N}^{N}c_{n}e^{j2\pi n\frac{t}{T}}\]

avec, \(\alpha\) étant un paramètre réel arbitraire, \(\forall n\in\mathbb{Z}\):

\[\boxed{c_{n}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left(t\right)e^{-j2\pi n\frac{t}{T}}dt}\]

On s'intéresse à la convergence simple de \(S_{f,N}\), i.e. à \(t\in\mathbb{R}\) fixé, à la limite où \(N\longrightarrow+\infty\).

Le théorème de Dirichlet stipule que, si \(f\) est \(C^{1}\) par morceaux, alors \(S_{f,N}\) converge simplement vers \(\overline{f},\)avec:

\[\boxed{\overline{f}\left(t\right)=\frac{f\left(t^{-}\right)+f\left(t^{-}\right)}{2}}\]

En particulier, en tout point où \(f\) est continue, \(S_{f,N}\) converge simplement vers \(f\).

On écrira alors, par commodité:

\[\boxed{\overline{f}\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}e^{j2\pi n\frac{t}{T}}}\]

voire, en dehors des points de discontinuité de \(f\):

\[f\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}e^{j2\pi n\frac{t}{T}}\]

Si \(f\) est réelle, \(\left|f\right|^{2}\)est identifiable à \(f^{2}\) et, \(\forall n\in\mathbb{Z}\):

\[\boxed{c_{-n}=c_{n}^{*}}\]

On retrouve alors, \(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\):

\[c_{n}=\frac{a_{n}-jb_{n}}{2}\]

Soit \(f\) une fonction \(T\)-périodique à valeurs dans \(\mathbb{C}\), appartenant à \(L^{2}\left(T\right)\), i.e. pour laquelle:

\[\int_{0}^{T}\left|f\left(t\right)\right|^{2}dt<+\infty\]

Considérons maintenant la somme partielle donnée par la fonction \(T\)-périodique \(t\longmapsto S_{2,f}\left(N\right)\) de paramètre \(N\) entier:

\[S_{2,f}\left(N\right)=\sum_{n=-N}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}\]

avec, \(\alpha\) étant un paramètre réel arbitraire, \(\forall n\in\mathbb{Z}\):

\[c_{n}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left(t\right)e^{-j2\pi n\frac{t}{T}}dt\]

On s'intéresse à la la limite de \(S_{2,f}\) lorsque \(N\longrightarrow+\infty\).

Le théorème de Parsevat stipule que, si \(f\) est \(C^{0}\) par morceaux, alors \(S_{2,f}\) a pour limite \(\left\Vert f\right\Vert _{T}^{2}\)\(,\)avec:

\[\left\Vert f\right\Vert _{T}^{2}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}\left|f\left(t\right)\right|^{2}dt\]

On écrira alors, par commodité:

\[\boxed{\left\Vert f\right\Vert _{T}^{2}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}\left|f\left(t\right)\right|^{2}dt=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left|c_{n}\right|^{2}}\]

Si \(f\) est réelle, \(\left|f\right|\)est identifiable à \(f\) et on a vu que \(\forall n\in\mathbb{Z}\):

\[c_{-n}=c_{n}^{*}\]

ce qui permet de rassembler les contributions de même module des harmoniques \(n\) et \(-n\).

On a alors:

\[\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}\left|f\left(t\right)\right|^{2}dt=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f^{2}\left(t\right)dt=c_{0}^{2}+2\sum_{n=1}^{+\infty}\left|c_{n}\right|^{2}\]

soit:

\[\boxed{\left\Vert f\right\Vert _{T}^{2}=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}\left|f\left(t\right)\right|^{2}dt=\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f^{2}\left(t\right)dt=c_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{2}}\]

L'hypothèse sur \(f\) (\(C^{0}\) par morceaux) est logiquement plus faible que celle validant le théorème de Dirichlet (\(C^{1}\) par morceaux) car c'est une convergence en «moyenne quadratique», mettant en jeu une série portant sur \(\left|c_{n}\right|^{2}\) qui converge donc plus rapidement.