Incertitudes

Lorsque le résultat d'une mesure est associé à une loi de probabilité, si celle-ci est connue, il sera le cas échant possible de:

donner un intervalle de confiance \(IC_{1-\alpha}\), où \(\alpha\in\left[0,1\right]\), pour lequel la valeur exacte \(x_{exacte}\) appartient à cet intervalle avec une probabilité:
\[P\left(x_{exacte}\in IC_{1-\alpha}\right)=1-\alpha\]
i.e. avec une degré de confiance égal à \(1-\alpha\).
donner une incertitude élargie associée

Ceci pourra être obtenu dans \(2\) cas:

incertitude de type \(A\), à \(n\) fixé:
- si on connaît \(f_{X}\)
- si on ne connaît pas \(f_{X}\) mais \(n\) est suffisamment grand pour considérer que \(f_{\overline{Z}_{n}}\) est assimilable à une loi normale centrée
Un intervalle de confiance sera de la forme \(IC_{1-\alpha,n}\), i.e. dépendra de \(\alpha\) et de \(n\).
incertitude de type \(B\) dont on connaît \(f_{X}\), essentiellement dans les 3 hypothèses suivantes:
- distribution uniforme \(\mathcal{U}\left(\left[a,b\right]\right)\) de \(X\) dans l'intervalle \(\left[a,b\right]\) pour laquelle on montre que:
  \[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\mu_{X}=\frac{a+b}{2}\\\sigma_{X}=\frac{b-a}{\sqrt{3}}\end{array}\right.}\]
- distribution triangulaire \(\mathcal{T}r\left(\left[a,b\right]\right)\) symétrique de \(X\) dans l'intervalle \(\left[a,b\right]\) pour laquelle on montre que:
  \[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\mu_{X}=\frac{a+b}{2}\\\sigma_{X}=\frac{b-a}{\sqrt{6}}\end{array}\right.}\]
- distribution normale \(\mathcal{N}_{\mu_{X},\sigma_{X}^{2}}\)
Un intervalle de confiance sera de la forme \(IC_{1-\alpha}\) sera centré sur \(\mu_{X}\), car les densités associées à ces distributions sont une fonction paire de \(X_{c}=X-\mu_{X}\).