On appelle fonction de répartition de la v.a.continue \(Z\):

\[F:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}\longrightarrow\left[0,1\right]\\z\longmapsto F\left(z\right)=P\left(-\infty\leq z\leq+q_{u}\right)=\int_{-\infty}^{z}f_{Z}\left(z^{\prime}\right)dz^{\prime}\end{array}\right.\]

Dans un domaine où \(f_{Z}\) est strctement positive, elle admet une inverse \(u\longmapsto q_{u}=F^{-1}\left(u\right)\) appelée fonction quantile de la v.a. \(Z\).

\(q_{u}\) valide donc:

\[F\left(q_{u}\right)=\int_{-\infty}^{q_{u}}f_{Z}\left(z^{\prime}\right)dz^{\prime}=u\]

où \(0<u\leq1\) avec:

\[F\left(+\infty\right)=\underset{q_{u}\rightarrow+\infty}{\textrm{lim}}F\left(q_{u}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{Z}\left(z^{\prime}\right)dz^{\prime}=1\]

L'idée fondamentale est que la valeur exacte \(x_{exacte}\) inconnue de la grandeur \(\mathcal{X}\) s'identifie à l'espérance inconnue:

\[\boxed{x_{exacte}=\mu_{X}=E\left(X\right)}\]

de la v.a.\(X\).

Introduisons la variable centrée:

\[X_{c}=X-\mu_{X}\]

On va donc, à partir de l'échantillon, déterminer une estimation \(\hat{\mu}_{X}\) de l'espérance \(\mu_{X}\), qui s'identifie à \(x_{exacte}\) que l'on souhaite approcher.

On est donc amené au problème inverse de celui où \(\mu\) est connue.

A \(\mu\) fixée, on sait répondre à la question de savoir dans quel intervalle de la forme \(\left[\mu+a\left(\alpha\right),\mu+b\left(\alpha\right)\right]\) une mesure de \(X\) retourne une valeur \(x\) dans cet intervalle avec une probabilité \(1-\alpha\) avec:

\[\int_{a\left(\alpha\right)}^{b\left(\alpha\right)}f_{X_{c}}\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}=1-\alpha\]

qui ne fait pas apparaître \(\mu\) et qui correspond à la condition pour que:

\[x_{min}\left(\alpha,\mu\right)=\mu+a\left(\alpha\right)\leq x\leq x_{max}\left(\alpha,\mu\right)=\mu+b\left(\alpha\right)\]

Réciproquement, à \(x\) fixé, l'intervalle dans lequel \(\mu_{X}=x_{exacte}\) se situe avec une probabilité \(1-\alpha\) est:

\[\left[x-b\left(\alpha\right),x-a\left(\alpha\right)\right]\]

et correspond à la condition:

\[\mu_{min}\left(\alpha,x\right)=x-b\left(\alpha\right)\leq\mu_{X}=x_{exacte}\leq\mu_{max}\left(\alpha,x\right)=x-a\left(\alpha\right)\]

Si \(f_{X_{c}}\) est paire:

\[a\left(\alpha\right)=-b\left(\alpha\right)\]

car:

\[\int_{a\left(\alpha\right)}^{b\left(\alpha\right)}f_{X_{c}}\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}=\int_{a\left(\alpha\right)}^{b\left(\alpha\right)}f_{X_{c}}\left(-x^{\prime}\right)dx^{\prime}=-\int_{-a\left(\alpha\right)}^{-b\left(\alpha\right)}f_{X_{c}}\left(x^{\prime\prime}\right)dx^{\prime\prime}=\int_{-b\left(\alpha\right)}^{-a\left(\alpha\right)}f_{X_{c}}\left(x^{\prime\prime}\right)dx^{\prime\prime}\]

Par ailleurs, intéressons-nous au quantile associé à la fonction de distribution de la v.a. centrée réduite:

\[Z=\frac{X-\mu_{X}}{\sigma_{X}}\]

Il est défini par:

\[F\left(q_{u}\right)=\int_{-\infty}^{q_{u}}f_{Z}\left(z^{\prime}\right)dz^{\prime}=u\]

On a alors:

\[F\left(0\right)=\int_{-\infty}^{0}f_{Z}\left(z^{\prime}\right)dz^{\prime}=\frac{1}{2}\]

ce qui signifie que:

\[q_{\frac{1}{2}}=0\]

Recherchons la solution de l'équation:

\[\int_{-b}^{+b}f_{X_{c}}\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}=\sigma_{X}\int_{-\frac{b}{\sigma_{X}}}^{+\frac{b}{\sigma_{X}}}f_{Z}\left(z^{\prime}\right)dz^{\prime}=2\sigma_{X}\int_{0}^{\frac{b}{\sigma_{X}}}f_{Z}\left(z^{\prime}\right)dz^{\prime}=u\]

d'où:

\[F\left(\frac{b}{\sigma_{X}}\right)=\int_{-\infty}^{\frac{b}{\sigma_{X}}}f_{Z}\left(z^{\prime}\right)dz^{\prime}=\int_{-\infty}^{0}f_{Z}\left(z^{\prime}\right)dz^{\prime}+\int_{0}^{\frac{b}{\sigma_{X}}}f_{Z}\left(z^{\prime}\right)dz^{\prime}=\frac{1}{2}+\frac{u}{2}\]

ce qui signifie que:

\[b=\sigma_{X}q_{\frac{1+u}{2}}\]