7.7 Composition des incertitudes de type \(A\) et \(B\)
7.7.1 Expression de l'incertitude finale
Soit une grandeur physique \(\mathcal{X}\) dont on note \(x_{exacte}\) la valeur exacte inconnue.
Supposons que l'on réalise \(n>1\) mesures indépendantes de \(\mathcal{X}\), avec le même protocole expérimental et des paramètres macroscopiques identiques.
La mesure n°\(i\) retourne \(x_{i}\).
On suppose que l'on dispose:
- de l'incertitude \(\triangle x_{B}\) de type \(B\) supposée la même pour chacune des mesures
- de l'incertitude \(\triangle x_{A,n}\) de type \(A\) associée à \(\left\{ x_{1},...,x_{n}\right\} \) (i.e. sans tenir compte de la dispersion des paramètres définissant \(\triangle x_{B}\) )
Le résultat final de la mesure sera alors:
\[\boxed{x_{exacte}\in\left[\overline{x}_{n}-\triangle x_{n},\overline{x}_{n}+\triangle x_{n}\right]}\]
avec:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\overline{x}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\\\triangle x_{n}=\sqrt{\left(\triangle x_{A,n}\right)^{2}+\left(\triangle x_{B}\right)^{2}}\end{array}\right.}\]
où:
\[\boxed{\triangle x_{A,n}=\frac{s_{n}}{\sqrt{n}}}\]
7.7.2 Comportement asymptotique
Si on réalise un grand nombre de mesures, en général:
\[s_{n}\longrightarrow s\]
et, par conséquent:
\[\triangle x_{A,n}=\frac{s_{n}}{\sqrt{n}}\underset{\scriptsize{n\longrightarrow+\infty}}{\approx}0\]
Il en résulte que l'incertitude finale se réduit à l'incertitude de type \(B\):
\[\boxed{\triangle x_{n}=\sqrt{\frac{s_{n}^{2}}{n}+\left(\triangle x_{B}\right)^{2}}\underset{\scriptsize{n\longrightarrow+\infty}}{\approx}\triangle x_{B}}\]
Ainsi, comme attendu, \(\triangle x_{B}\) est une borne inférieure de l'erreur.
Réciproquement, si \(\triangle x_{B}\) est a priori très sensiblement inférieure à \(s_{n}\), lorsque \(n\) est de l'ordre de quelques unités, on évaluera simplement \(\triangle x_{n}\) par \(\triangle x_{A,n}=\frac{s_{n}}{\sqrt{n}}\).