1.3 Quelques propriétés
1.3.1 Univers
De façon générale, on introduit un ensemble \(\Omega\) appelé univers: il représente l'ensemble des issues possibles d'une expérience donnée.
- \(\Omega\) peut être fini:
- exemple \(1\): lancé d'une pièce de monnaie qui retourne \(2\) valeurs “pile” ou “face”\(\Omega=\left\{ P,F\right\} \) ou \(\Omega=\left\{ 0,1\right\} \) en renommant les faces
- exemple \(2\): lancé d'un dé qui retourne \(6\) valeurs:\[\Omega=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} \]
- exemple \(1\): lancé d'une pièce de monnaie qui retourne \(2\) valeurs “pile” ou “face”
- \(\Omega\) peut être infini (dénombrable ou non):
- exemple \(3\): lancé d'une flèche sur une cible circulaire\(\Omega=D_{O,R}\) où \(D_{O,R}\) est un disque de centre \(O\) et de rayon \(R\)
- exemple \(4\): durée de vie d'une ampoule depuis un instant origine\[\Omega=\mathbb{R}^{+}\]
- exemple \(3\): lancé d'une flèche sur une cible circulaire
1.3.2 Probabilité
La donnée de \(\left(\varOmega,\mathcal{S}\right)\) définit un espace probabilisable.
On appelle probabilité une application:
\[P:\left\{ \begin{array}{l}\mathcal{S}\longmapsto\left[0,1\right]\\A\longmapsto P\left(A\right)\end{array}\right.\]
vérifiant les conditions:
- \(P\left(\Omega\right)=1\)
- Si \((A_{n})_{n}\) est une suite (éventuellement finie) d'éléments de \(\mathcal{S}\) deux à deux incompatibles (i.e. \(P\left(A_{i}\cap A_{j}\right)=0\) si \(i\neq j\)):\[P\left(\underset{n}{\cup}A_{n}\right)=\sum_{n}P\left(\underset{n}{\cup}A_{n}\right)\]
L'ensemble \(\left(\Omega,\mathcal{S},P\right)\) est appelé espace probabilisé.
1.3.3 Conséquences immédiates
Aidons-nous de schémas donnés dans le cas où \(\Omega\) est fini.
- \(\Omega\) appelé événement certain a pour probabilité:\[P\left(\Omega\right)=1\]
- \(\emptyset\) appelé événement impossible (complémentaire de \(\Omega\)) a pour probabilité:\[P\left(\emptyset\right)=0\]
- \(\forall A\in\mathcal{S}\), l'événement complémentaire \(\overline{A}\) ou contraire tel que:\[\left\{ \begin{array}{l}A\cup\overline{A}=\Omega\\A\cap\overline{A}=\emptyset\end{array}\right.\]
Cet événement a pour probabilité:\[P\left(\bar{A}\right)=1-P\left(A\right)\]En effet, \(\Omega=A\cup\bar{A}\) avec \(A\cap\bar{A}=\emptyset\) donc:\[P\left(\Omega\right)=P\left(A\right)+P\left(\bar{A}\right)=1\] - Plus généralement:\[\boxed{P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)}\]
En effet, une partition de \(A\cup B\) est formée par les \(3\) événements incompatibles suivants:\[A\cup B=\left(A\cap\bar{B}\right)\cup\left(A\cap B\right)\cup\left(B\cap\bar{A}\right)\]donc:\[P\left(A\cup B\right)=P\left(A\cap\bar{B}\right)+P\left(A\cap B\right)+P\left(B\cap\bar{A}\right)\]de même:\[\left\{ \begin{array}{l}P\left(A\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap\bar{B}\right)\\P\left(B\right)=P\left(B\cap A\right)+P\left(B\cap\bar{A}\right)\end{array}\right.\]d'où le résultat.On peut généraliser le résultat à la réunion d'un ensemble fini d'événements.