1.4 Probabilités conditionnelles
1.4.1 Introduction
Prenons un exemple.
On tire une carte au hasard dans un jeu de \(32\) cartes.
\[\Omega=\left\{ \left(m_{i},c_{j}\right),i\in\left[1,8\right],j\in\left[1,2\right]\right\} \]
où:
- \(i\) décrit le motif de la carte [\(7\),\(8\),\(9\),\(10\),valet,dame,roi,as]
- \(j\) décrit la couleur de la carte [trèfle,carreau,coeur,pique]
Elle est munie d'une loi d'équiprobabilité.
La probabilité de tirer une carte parmi \(32\) vaut donc:
\[p=\frac{1}{32}\]
Soit:
- \(A\) l'événement "le résultat est un pique", de probabilité \(P\left(A\right)=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}\)
- \(B\) l'événement "Le résultat est un roi", de probabilité \(P\left(B\right)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}\)
Donc \(A\cap B\) est l'événement "le résultat est le roi de pique", de probabilité \(P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{32}\)
Comparons les \(2\) événements:
- Evénement \(B\) "le résultat est un roi" de probabilité \(P\left(B\right)=\frac{1}{8}\)
- Evénement \(C\) "le résultat est un roi" (événement \(B\)) sachant que “le résultat est un pique” (événement \(A\)) , de probabilité \(P\left(C\right)=\frac{1}{8}\) car il n'y a qu'un roi parmi les \(8\) cartes de “couleur” pique.
En définitive, \(C\) étant noté \(B|A\) (\(B\) sachant \(A\))
\[P\left(B|A\right)=\frac{1}{8}\]
Remarquons alors que:
\[P\left(A\right)\times P\left(B|A\right)=\frac{1}{8}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{32}\]
s'identifie à \(P\left(B\cap A\right)\).
La généralisation de ce résultat conduit à la définition suivante.
1.4.2 Définition
Soit \(A\) et \(B\) deux événements avec \(P\left(A\right)\neq0\).
On appelle probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\), la probabilité que l'événement \(B\) se réalise sachant que l'événement \(A\) est réalisé.
Elle est notée \(P\left(B|A\right)\) ou \(P_{A}\left(B\right)\) et elle est définie par:
\[\boxed{P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\cap A\right)}{P\left(A\right)}}\]
que l'on peut plus facilement intrepréter sous la forme:
\[\boxed{P\left(B\cap A\right)=P\left(B|A\right)P\left(A\right)}\]
1.4.3 Formule de Bayes
Puisque:
\[P\left(A\cap B\right)=P\left(B\cap A\right)\]
on a donc, si \(P\left(A\right)\) et \(P\left(B\right)\) sont non nulles:
\[P\left(B|A\right)P\left(A\right)=P\left(A|B\right)P\left(B\right)\]
donc:
\[\boxed{P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A|B\right)P\left(B\right)}{P\left(A\right)}}\]
que l'on peut prolonger au cas où \(P\left(B\right)\) s'annule.
1.4.4 Formule des probabilités totales
On se donne un espace probabilisé \(\left(\Omega,\mathcal{S},P\right)\).
Si \(\left(A_{i}\right){}_{i\in I}\) est un système exhaustif (fini ou dénombrable) d'événements tous non vides, i.e. pour lesquels:
\[\left\{ \begin{array}{lcc}\underset{i\in I}{\cup}A_{i}=\Omega\\A_{i}\cap A_{j}=\emptyset & \textrm{si} & i\neq j\end{array}\right.\]
ils forment alors une partition de l'univers.
Si, \(\forall i\in I\):
\[P\left(A_{i}\right)\neq0\]
alors, pour tout événement \(B\in\mathcal{S}\):
\[\boxed{P\left(B\right)=\sum_{i\in I}P\left(B|A_{i}\right)P\left(A_{i}\right)=\sum_{i\in I}P\left(B\cap A_{i}\right)}\]
appelée formule des probabilités totales.
1.4.5 Conséquence
Avec la formule de Blaye:
\[P\left(B|A_{i}\right)P\left(A_{i}\right)=P\left(A_{i}|B\right)P\left(B\right)\]
donc, si \(P\left(B\right)\) est non nulle:
\[P\left(A_{i}|B\right)=\frac{P\left(B|A_{i}\right)P\left(A_{i}\right)}{P\left(B\right)}\]
Avec la formule des probabilités totales:
\[P\left(A_{i}|B\right)=\frac{P\left(B|A_{i}\right)P\left(A_{i}\right)}{\sum_{j\in I}P\left(B|A_{j}\right)P\left(A_{j}\right)}\]