1.2 Exemple du lancé d'une pièce de monnaie
1.2.1 Expérience
Considérons un expérience simple: on lance une pièce de monnaie comportant donc \(2\) faces et on observe la face supérieure lorsque la pièce immobilisée, que l'on identifie par \(P\)(“pile”) ou \(F\)(“face”).
La mise en oeuvre de la même expérience, i.e. effectuée dans les mêmes conditions objectives, s'appelle une réalisation.
Dans cette expérience, l'issue d'une réalisation donnée n'est pas prédictible: elle est donc aléatoire (par opposition à déterministe).
1.2.2 Formalisation
Le lancer d'une pièce de monnaie retourne alors un état dans l'ensemble fini \(\Omega=\left\{ P,F\right\} \) de cardinal égal à \(2\), appelé univers qui constitue donc l'ensemble des résultats possibles de l'expérience considérée.
On construit alors un ensemble \(\mathcal{S}\) (constituant une tribu) construit à partir de \(\Omega\) et dont les éléments sont appelés événements.
Pour une analyse qualitative, limitons-nous au cas où \(\Omega\) est fini.
Un événement \(A\in\mathcal{S}\) est associé à une affirmation binaire appelée prédicat.
Son complémentaire est l'événement \(\overline{A}\in\mathcal{S}\) tel que:
\[\left\{ \begin{array}{l}A\cup\overline{A}=\Omega\\A\cap\overline{A}=\emptyset\end{array}\right.\]
Par définition, \(\mathcal{S}\) est stable par réunion, par passage au complémentaire et contient \(\Omega\) (appelé événement certain).
On en déduit qu'il est également stable par intersection et contient l'ensemble vide (noté \(\emptyset,\) appelé événement impossible).
Exemple du lancé d'un dé:
L'univers \(\Omega=\left\{ P,F\right\} \) est de cardinal \(2\).
Les événements associés sont:
\[\mathcal{S}=\left\{ \emptyset,\left\{ P\right\} ,\left\{ F\right\} ,\Omega=\left\{ P,F\right\} \right\} \]
qui s'identifie ici à l'ensemble des parties de \(\Omega\).
En effet:
- l'événement \(\left\{ P\right\} \) est associé à la réalisation “la pièce retourne \(P\)”
- l'événement \(\left\{ F\right\} \) est associé à la réalisation “la pièce retourne \(F\)”
- l'événement \(\left\{ P\right\} \cup\left\{ F\right\} \) est associé à la réalisation “la pièce retourne \(P"\) ou “la pièce retourne \(F"\), qu'il est bien cohérent de qualifier de certain car:\[\left\{ P\right\} \cup\left\{ F\right\} =\Omega\]
- l'événement \(\left\{ P\right\} \cap\left\{ F\right\} \) est associé à la réalisation “la pièce retourne \(P"\) et “la pièce retourne \(F"\), qu'il est bien cohérent de qualifier d'impossible car:\[\left\{ P\right\} \cap\left\{ F\right\} =\emptyset\]
- les événements \(\left\{ P\right\} \) et \(\left\{ F\right\} \) sont complémentaires car:\[\left\{ \begin{array}{l}\left\{ P\right\} \cup\left\{ F\right\} =\Omega\\\left\{ P\right\} \cap\left\{ F\right\} =\emptyset\end{array}\right.\]
\(\mathcal{S}\) vérifie bien les propriétés requises.
Nous ne chercherons pas à aller au-delà, un cours de Mathématiques donnant une définition précise de \(\mathcal{S}\) en particulier lors que \(\Omega\) est infini, dénombrable ou non.
Signalons que si \(\Omega=\mathbb{R}^{n}\), \(\mathcal{S}\) contient en gros les intervalles.
1.2.3 Probabilité
On va affecter à chaque élement \(A\) de \(\Omega\) une mesure de probabilité:
\[P:\left\{ \begin{array}{l}\mathcal{S}\longmapsto\left[0,1\right]\\A\longmapsto P\left(A\right)\end{array}\right.\]
validant les conditions:
- \(\forall A\in\mathcal{S}\):\[P\left(A\right)\in\left[0,1\right]\]
- L'événement certain est de probabilité égale à \(1\):\[P\left(\Omega\right)=1\]
- \(\forall A_{1},...,A_{n}\in\mathcal{S}\) deux à deux disjoints i.e. \(A_{i}\cap A_{j}=\emptyset\) pour \(i\neq j\):\[P\left(A_{1}\cup...\cup A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right)+...+P\left(A_{n}\right)\]
Remarque:
Puisque le complémentaire de \(\Omega\) est l'ensemble vide \(\emptyset\) et que ces événements sont complémentaires:
\[P\left(\emptyset\right)=0\]
i.e. l'événement impossible est de probabilité égale à \(0\).
Exemple du lancé d'un dé:
Construisons la mesure de probabilité:
\[P:\mathcal{S}\longmapsto\left[0,1\right]\]
pour laquelle:
\[\left\{ \begin{array}{l}p\left(\left\{ P\right\} \right)=p_{P}\\p\left(\left\{ F\right\} \right)=p_{F}\end{array}\right.\]
où, puisque \(\left\{ P\right\} \) et \(\left\{ P\right\} \) sont complémentaires:
\[p_{P}+p_{F}=1\]
Si le dé est “honnête” , on va donc choisir une distribution isotrope, i.e. des événements \(\left\{ P\right\} \) et \(\left\{ F\right\} \) équiprobables donc:
\[p_{P}=p_{F}=\frac{1}{2}\]