2.6 Théorème du moment cinétique en \(O\) fixe dans \(R\)
2.6.1 Moment cinétique en \(A\) dans \(R\)
On appelle moment cinétique au point \(A\) dans \(R\) d'une particule de masse \(m\) la grandeur:
\[\boxed{\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(A\right)=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{p}{}_{R}=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge m\overrightarrow{v}_{R}}\] où \(\overrightarrow{v}{}_{R}\) est la vitesse de la particule (à l'instant \(t\)) dans \(R\).
2.6.2 Torseur moment cinétique (complément)
A particule et référentiel \(R\) donnés, l'application \(Q\longmapsto\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(Q\right)\) est telle que, \(\forall A,B\in\mathcal{E}_{3}\):
\[\boxed{\overrightarrow{\sigma}_{R}\left(B\right)=\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(A\right)+\overrightarrow{p}_{R}\wedge\overrightarrow{AB}}\]
de sorte que \(\overrightarrow{\sigma}_{R}\) constitue un champ équiprojectif au sens où:
\[\overrightarrow{\sigma}_{R}\left(B\right).\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(A\right).\overrightarrow{AB}\]
Un champ équiprojectif est appelé torseur.
\(\overrightarrow{\sigma}_{R}\) est donc un torseur appelé torseur cinétique.
Il est donc complètement déterminé si on donne:
- sa résultante cinétique \(\overrightarrow{p}_{R}\)
- son moment \(\overrightarrow{\sigma}_{R}\left(A\right)\) en un point donné \(A\)
2.6.3 Moment en \(A\) d'une force d'interaction, d'une force d'inertie
On appelle moment en \(A\) de la force d'interaction \(\overrightarrow{F}\) la grandeur:
\[\boxed{\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}}\] \(A\) étant fixé, \(\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)\) sera invariant dans tout référentiel, et lié à l'interaction de la particule avec d'autres corps ou d'autres particules.
On appelle moment en \(A\) de la force d'inertie \(\overrightarrow{f}_{inert,R/R_{g}}\) la grandeur:
\[\boxed{\overrightarrow{\Gamma}_{inert,R/R_{g}}\left(A\right)=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}_{inert,R/R_{g}}}\]
\(A\) étant fixé, \(\overrightarrow{\Gamma}_{inert,R/R_{g}}\left(A\right)\) sera dépendra du caractère non galiléen du référentiel \(R\), et ne sera pas lié à l'interaction de la particule avec d'autres corps ou d'autres particules.
2.6.4 Torseur force (complément)
A force d'interaction \(\overrightarrow{f}\) donnée, l'application \(Q\longmapsto\overrightarrow{\Gamma}\left(Q\right)\) est telle que, \(\forall A,B\in\mathcal{E}_{3}\):
\[\boxed{\overrightarrow{\Gamma}\left(B\right)=\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)+\overrightarrow{f}\wedge\overrightarrow{AB}}\]
de sorte que \(\overrightarrow{\Gamma}\) constitue un champ équiprojectif au sens où:
\[\overrightarrow{\Gamma}\left(B\right).\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right).\overrightarrow{AB}\]
le champ \\(\overrightarrow{\Gamma}\) est alors un torseur appelé torseur force d'interaction.
Il est donc complètement déterminé si on donne:
- sa résultante \(\overrightarrow{f}\)
- son moment \(\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)\) en un point donné \(A\)
On définit de même, \(R\) donné:
- le torseur \(\overrightarrow{\Gamma}_{ent,R/R_{g}}\) force d'inertie d'entraînement (de résultante \(\overrightarrow{f}_{ent,R/R_{g}}=-m\overrightarrow{a}_{ent,R/R_{g}}\))
- le torseur \(\overrightarrow{\Gamma}_{cor,R/R_{g}}\) force d'inertie de Coriolis (de résultante \(\overrightarrow{f}_{cor,R/R_{g}}=-m\overrightarrow{a}_{cor,R/R_{g}}\))
2.6.5 Théorème du moment cinétique (TMC) en \(A\) dans \(R\)
Enoncé:
Dans un référentiel \(R\), soit une particule soumise à une force d'interaction totale notée \(\overrightarrow{F}\) à l'instant \(t\).
Le théorème du moment cinétique (TMC) au point \(A\) appliqué à la particule dans \(R\) s'écrit:
\[\boxed{\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(A\right)}{dt}\right|_{R}+\overrightarrow{v}{}_{R}\left(A\right)\wedge\overrightarrow{p}{}_{R}=\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)+\overrightarrow{\Gamma}_{ent,R/R_{g}}\left(A\right)+\overrightarrow{\Gamma}_{cor,R/R_{g}}\left(A\right)}\]où, à l'instant \(t\):
- \(\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(A\right)=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{p}{}_{R}=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge m\overrightarrow{v}{}_{R}\) est le moment cinétique en \(A\) de la particule dans \(R\)
- \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(A\right)\) est la vitesse du point \(A\) dans \(R\)
- \(\overrightarrow{\Gamma}\left(A\right)\) est le moment en \(A\) des forces d'interaction
- \(\overrightarrow{\Gamma}_{ent,R/R_{g}}\left(A\right)=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}_{ent,R/R_{g}}=-\overrightarrow{AM^{t}}\wedge m\overrightarrow{a}_{ent,R/R_{g}}\) est le moment en \(A\) de la force d'inertie d'entraînement, du fait du caractère non galiléen de \(R\)
- \(\overrightarrow{\Gamma}_{cor,R/R_{g}}\left(A\right)=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}_{cor,R/R_{g}}\left(t\right)=-\overrightarrow{AM^{t}}\wedge m\overrightarrow{a}_{cor,R/R_{g}}\) est le moment en \(A\) de la force d'inertie de Coriolis, du fait du caractère non galiléen de \(R\)
Preuve:
Dans le cadre de la mécanique du point (celui-ci n'ayant aucune structure), le TMC se déduit du PFD.
\[\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(A\right)}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\left[\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{p}{}_{R}\right]}{dt}\right|_{R}=\left[\overrightarrow{v}{}_{R}-\overrightarrow{v}{}_{R}\left(A\right)\right]\wedge\overrightarrow{p}{}_{R}+\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\left.\frac{d\overrightarrow{p}{}_{R}}{dt}\right|_{R}\] D'après le PFD appliqué à la particule dans \(R\), et en remarquant que \(\overrightarrow{v}{}_{R}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{p}_{R}\):
\[\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(A\right)}{dt}\right|_{R}+\overrightarrow{v}{}_{R}\left(A\right)\wedge\overrightarrow{p}{}_{R}=\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}+\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}_{ent,R/R_{g}}+\overrightarrow{AM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}_{cor,R/R_{g}}\]
2.6.6 Théorème du moment cinétique (TMC) par rapport à \(O\) fixe dans \(R\)
Enoncé:
Dans un référentiel \(R\), soit une particule soumise à une force d'interaction totale notée \(\overrightarrow{F}\left(t\right)\) à l'instant \(t\).
Le théorème du moment cinétique ( TMC ) au point \(O\) fixe dans \(R\) appliqué à la particule dans \(R\) s'écrit:
\[\boxed{\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(O\right)}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{\Gamma}\left(O\right)+\overrightarrow{\Gamma}_{ent,R/R_{g}}\left(O\right)+\overrightarrow{\Gamma}_{cor,R/R_{g}}\left(O\right)}\] où, à l'instant \(t\):
- \(\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(O\right)=\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\overrightarrow{p}{}_{R}=\overrightarrow{OM^{t}}\wedge m\overrightarrow{v}{}_{R}\) est le moment cinétique en \(O\) de la particule dans \(R\)
- \(\overrightarrow{\Gamma}\left(O\right)\) est le moment en \(O\) des forces d'interaction
- \(\overrightarrow{\Gamma}_{ent,R/R_{g}}\left(O\right)=\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}_{ent,R/R_{g}}\left(t\right)=-\overrightarrow{OM^{t}}\wedge m\overrightarrow{a}_{ent,R/R_{g}}\) est le moment en \(O\) de la force d'inertie d'entraînement, du fait du caractère non galiléen de \(R\)
- \(\overrightarrow{\Gamma}_{cor,R/R_{g}}\left(O\right)=\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}_{cor,R/R_{g}}\left(t\right)=-\overrightarrow{OM^{t}}\wedge m\overrightarrow{a}_{cor,R/R_{g}}\) est le moment en \(O\) de la force d'inertie de Coriolis, du fait du caractère non galiléen de \(R\)
Preuve:
Dans le cadre de la mécanique du point (celui-ci n'ayant aucune structure), le TMC se déduit du PFD.
\[\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(O\right)}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\left[\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\overrightarrow{p}{}_{R}\right]}{dt}\right|_{R}=\left[\overrightarrow{v}{}_{R}-\overrightarrow{v}{}_{R}\left(O\right)\right]\wedge\overrightarrow{p}{}_{R}+\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\left.\frac{d\overrightarrow{p}{}_{R}}{dt}\right|_{R}\] D'après le PFD, et en remarquant que \(\overrightarrow{v}{}_{R}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{p}_{R}\) et que \(\overrightarrow{v}{}_{R}\left(O\right)=\overrightarrow{0}\):
\[\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(O\right)}{dt}\right|_{R_{g}}=\overrightarrow{\Gamma}\left(O\right)+\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}_{ent,R/R_{g}}+\overrightarrow{OM^{t}}\wedge\overrightarrow{f}_{cor,R/R_{g}}\]
2.6.7 Théorème du moment cinétique (TMC) par rapport à l'axe orienté \(\Delta_{+}\) fixe dans \(R\)
Enoncé:
Dans un référentiel \(R\), soit une particule soumise à une force d'interaction totale notée \(\overrightarrow{f}\) à l'instant \(t\).
Soit \(\Delta\) un axe fixe dans \(R\).
Notons \(\Delta_{+}\) l'axe \(\Delta\) muni d'une orientation positive suivant le vecteur \(\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}\).
Le théorème du moment cinétique (TMC) par rapport à l'axe \(\Delta_{+}\) orienté et fixe dans \(R\) appliqué à la particule s'écrit:
\[\boxed{\left.\frac{d\sigma_{\Delta_{+},R}}{dt}\right|_{R}=\Gamma_{\Delta_{+}}+\Gamma_{\Delta_{+},ent,R/R_{g}}+\Gamma_{\Delta_{+},cor,R/R_{g}}}\] où:
- \(\sigma_{\Delta_{+},R}=\overrightarrow{\sigma}\left(I\in\Delta\right)_{R}.\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}\) est le moment cinétique par rapport à l'axe orienté \(\Delta_{+}\) de la particule dans \(R\)
- \(\Gamma_{\Delta_{+}}=\overrightarrow{\Gamma}\left(I\in\Delta\right).\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}\) est le moment de la force d'interaction \(\overrightarrow{f}\) par rapport à l'axe orienté \(\Delta_{+}\)
et:
- \(\Gamma_{\Delta_{+},ent,R/R_{g}}=\overrightarrow{\Gamma}_{ent,R/R_{g}}\left(I\in\Delta\right).\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}\) est le moment par rapport à l'axe orienté \(\Delta_{+}\) de la force d'entraînement
- \(\Gamma_{\Delta_{+},cor,R/R_{g}}=\overrightarrow{\Gamma}_{cor,R/R_{g}}\left(I\in\Delta\right).\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}\) est le moment par rapport à l'axe orienté \(\Delta_{+}\) de la force de Coriolis
Propriété:
Ces grandeurs sont indépendantes du choix de \(I\) pris sur l'axe \(\Delta\).
En effet, choisissons un un autre point \(J\in\triangle\) distinct de \(I\in\triangle\) tel que:
\[\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}=\frac{\overrightarrow{IJ}}{\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert }\]
- \(\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\) étant un torseur (cinétique), il est équiprojectif et, en divisant par \(\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert ,\)on obtient que:\[\overrightarrow{\sigma}_{R}\left(J\in\Delta\right).\frac{\overrightarrow{IJ}}{\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert }=\overrightarrow{\sigma}_{R}\left(I\in\Delta\right).\frac{\overrightarrow{IJ}}{\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert }\]
- \(\overrightarrow{\Gamma}\) étant un torseur (force), il est équiprojectif et, en divisant par \(\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert ,\)on obtient que:\[\overrightarrow{\Gamma}\left(J\in\Delta\right).\frac{\overrightarrow{IJ}}{\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert }=\overrightarrow{\Gamma}\left(I\in\Delta\right).\frac{\overrightarrow{IJ}}{\left\Vert \overrightarrow{IJ}\right\Vert }\]
Preuve:
En remarquant que \(\Delta_{+}\) est indépendant du temps \(R\) et en s'appuyant sur le TMC en \(I\in\triangle\) fixe dans \(R\):
\[\left.\frac{d\sigma_{\Delta_{+},R}}{dt}\right|_{R}=\left.\frac{d\left[\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(I\right).\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}\right]}{dt}\right|_{R}=\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}.\left.\frac{d\overrightarrow{\sigma}{}_{R}\left(I\right)}{dt}\right|_{R}\]
soit:
\[\left.\frac{d\sigma_{\Delta_{+},R_{g}}}{dt}\right|_{R_{g}}=\overrightarrow{u}_{\Delta_{+}}.\left[\overrightarrow{\Gamma}\left(I\right)+\overrightarrow{\Gamma}_{ent,R/R_{g}}\left(I\right)+\overrightarrow{\Gamma}_{cor,R/R_{g}}\left(I\right)\right]\]
ce qui conduit au résultat.
Interprétation géométrique:
On interprète chacun des termes \(\sigma_{Oz,R}\), \(\Gamma_{Oz}\), \(\Gamma_{Oz,ent,R/R_{g}}\), \(\Gamma_{Oz,cor,R/R_{g}}\) comme dans le cas traité au II.3.5.