2.3 Quelques propriétés usuelles
2.3.1 Représentation d'un vecteur par un bipoint
Dans les cas usuels, \(\varPhi\left(M,N\right)\) sera notée \(\overrightarrow{MN}\) et représenté par une flèche rectiligne menée de \(M\) à \(N\): on l'appelle bipoint.
Dans l'espace usuel, il est donc possible de représenter un vecteur par une classe de bipoints.
Si \(\overrightarrow{u}\in E_{n}\) et si l'on se donne un point \(A\), il suffit de construire un point \(B\) tel que:
\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\]
2.3.2 Translation de vecteur \(\overrightarrow{a}\) donné
Soit \(\overrightarrow{a}\in E_{n}\).
La transtion de vecteur \(\overrightarrow{a}\) est l'application affine:
\[t_{\overrightarrow{a}}:\:\left\{ \begin{array}{l}\mathcal{E}_{n}\longrightarrow\mathcal{E}_{n}\\M\longmapsto M^{\prime}\end{array}\right.\]
pour laquelle:
\[\overrightarrow{MM^{\prime}}=\overrightarrow{a}\]
Un même vecteur \(\overrightarrow{u}\) peut donc être représenté par des bipoints qui se déduisent deux à deux par une même translation.
2.3.3 Relation de Chasles
Cherchons à représenter la somme de \(2\) vecteurs:
\[\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\]
Pour cela, fixons un point \(A\in\mathcal{E}_{n}\).
Les points \(B,C\in\mathcal{E}_{n}\) tels que:
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\\\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}\end{array}\right.\]
sont alors déterminés de manière unique et les propriétés de l'addition dans \(E_{n}\) permet à \(\overrightarrow{w}\) d'être représentable par le bipoint \(\overrightarrow{AC}\).
La relation de Chasles désigne l'identité:
\[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\]
qui permet donc d'interpréter l'addition vectorielle dans \(E_{n}\).
2.3.4 Triangle
L'ensemble de \(3\) points \(A\), \(B\) et \(C\) non alignés reliés consécutivement par des segments définissent un triangle que l'on notera \(\left(A,B,C\right)\).
2.3.5 Distance euclidienne
L'application:
\[d:\:\left\{ \begin{array}{l}\mathcal{E}_{n}\mathcal{\times E}_{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{+}\\\left(M,N\right)\longmapsto d\left(M,N\right)\end{array}\right.\]
avec:
\[d\left(M,N\right)=\left\Vert \overrightarrow{MN}\right\Vert _{n}=\sqrt{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MN}}\]
définit une distance que l'on notera simplement \(MN\).
Posons:
\[\left\{ \begin{array}{l}a=BC\\b=CA\\c=AB\end{array}\right.\]
En particulier, l'inégalité triangulaire (un axiome définissant une sistance) est bien validée:
\[\boxed{d\left(A,C\right)\leq d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right)}\]
en s'appuyant sur au I.6.2..
Autrement dit:
\[\boxed{b\leq c+a}\]
La triangle est dit rectangle en \(B\) si \(\left(BC\right)\) est orthogonale à \(\left(AB\right)\) i.e. si:
\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\]
2.3.6 Droite et demi-droite affine
Dans un espace affine de dimension \(n\geq1\), une droite affine est définie par la donnée d'un point \(A\in\mathcal{E}_{n}\) et d'un vecteur non nul \(\overrightarrow{u}\in E_{n}\):
\[\varDelta=\left\{ M\in\mathcal{E}_{n}/\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{u}\textrm{, }\lambda\in\mathbb{R}\right\} \]
L'ensemble:
\[Au=\left\{ M\in\mathcal{E}_{n}/\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{u}\textrm{, }\lambda\in\mathbb{R}^{+}\right\} \]
est alors une demi-droite d'origine \(A\) dirigée par \(\overrightarrow{u}\).
2.3.7 Plan et demi-plan affine
Dans un espace affine de dimension \(n\geq2\), un plan affine est un sous-espace affine de défini par un point \(A\in\mathcal{E}_{n}\) et de \(2\) vecteurs non nuls linéairement indépendants \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in E_{n}\):
\[\Pi=\left\{ M\in\mathcal{E}_{n}/\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{u}+\mu\overrightarrow{v}\textrm{, }\lambda,\mu\in\mathbb{R}\right\} \]
L'ensemble:
\[Au=\left\{ M\in\mathcal{E}_{n}/\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{u},\lambda\in\mathbb{R}^{+},\mu\in\mathbb{R}\right\} \]
est alors un demi-plan limité par la droite \(\left(A,\overrightarrow{u}\right)\).