Soit \(B=\left(\overrightarrow{e}_{1},...,\overrightarrow{e}_{n}\right)\) une base orthonormée de \(E_{n}\).

Tout vecteur \(\overrightarrow{u}\in E_{n}\) se décompose de manière unique sur \(B\):

\[\overrightarrow{u}=u_{1}\overrightarrow{e}_{1}+...+u_{n}\overrightarrow{e}_{n}\]

où \(u_{i}\) est la composante de \(\overrightarrow{u}\) sur le vecteur \(\overrightarrow{e}_{i}\).

On en déduit:

\[\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}^{2}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{ij=1}^{n}u_{i}u_{j}\overrightarrow{e}_{i}.\overrightarrow{e}_{j}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{ij=1}^{n}u_{i}u_{j}\delta_{i}^{j}\]

soit:

\[\boxed{\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert _{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}^{2}}\]