5.4 Transformée en \(\mathcal{Z}\) (complément)
5.4.1 Définition
On appelle transformée en \(\mathcal{Z}\) d'une suite \(x=\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) la fonction de la variable complexe:
\[\mathcal{Z}_{x}:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}\\z\longmapsto\mathcal{Z}_{x}\left(z\right)\end{array}\right.\]
avec:
\[\boxed{\mathcal{Z}_{x}\left(z\right)=\sum_{n=0}^{N-1}x_{n}z^{-n}}\]
5.4.2 Lien avec la transformée de Fourier discrète
En posant:
\[\boxed{z_{k}=e^{j2\pi\nu_{k}\tau_{e}}}\]
on remarque donc que:
\[\mathcal{Z}_{x}\left(z_{k}\right)=\sum_{n=0}^{N-1}x_{n}z_{k}^{-n}=\sum_{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-j2\pi n\frac{nk}{N}}=\hat{X}_{N}\left(k\right)\]
L'ensemble \(Y=\left[\mathcal{Z}_{x}\left(z_{k}\right)\right]_{k\in\left[0,N-1\right]}=DF_{N}\left(X\right)\) s'identifie donc à la transformée de Fourier discrète de \(X\).
5.4.3 Domaine utile si \(X\) est réel
En gros, \(X\) étant réel, il correspond au domaine \(\nu\in\left[0,\frac{\nu_{e}}{2}\right[\) (avec des fréquences discrètes séparées de \(\frac{\nu_{e}}{N}\)), ce qui apparaît cohérent avec le théorème de Shannon.
5.4.4 Lien avec la transformée de Laplace discrète (complément)
Soit un \(X=\left(x_{n}\right)_{n\in\left[1,N\right]}\), où \(X\) est un vecteur de \(\mathbb{C}^{N}\).
On appelle transformée de Laplace discrète l'application linéaire:
\[DL_{N}:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{C}^{N}\longrightarrow\mathbb{C}^{N}\\X\longmapsto Y=DL_{N}\left(X\right)\end{array}\right.\]
avec, \(\forall k\in\left[0,N-1\right]\):
\[Y_{k}=\sum_{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-p_{k}t_{n}}\]
où:
\[\left\{ \begin{array}{l}t_{n}=n\tau_{e}\\p_{k}=kp_{1}\end{array}\right.\]
où:
\[p_{1}=\frac{1}{N}\left(\lambda+2\pi j\nu_{e}\right)\]
avec \(\lambda>0\).
Posons:
\[\boxed{z_{k}=e^{kp_{1}\tau_{e}}=e^{\lambda k\tau_{e}}e^{j2\pi\nu_{k}\tau_{e}}}\]
L'ensemble \(Y=\left[\mathcal{Z}_{x}\left(z_{k}\right)\right]_{k\in\left[0,N-1\right]}=DF_{N}\left(X\right)\) s'identifie donc à la transformée de Laplace discrète de \(X\).