5.3 Bilan: représentation spectrale d'un signal échantillonné
5.3.1 Résultat fondamental
On s'est intéressé à l'échantillonnage de la fonction continue \(t\longmapsto x_{n}=x\left(t\right)\) avec une fréquence d'échantillonnage \(\nu_{e}=\frac{1}{\tau_{e}}\), les\(N\) échantillons pris aux instants \(t_{0}=0\),...,\(t_{N-1}=\left(N-1\right)\tau_{e}\).
A l'aide de la transformée de Fourier discrète inverse, on a vu que:
\[\boxed{x_{n}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}Y_{k}e^{j2\pi\nu_{k}t_{n}}}\]
avec:
\[Y_{k}=\hat{X}_{N}\left(k\right)=\sum_{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-j2\pi\nu_{k}t_{n}}\]
Ainsi, la fonction discrète \(t_{n}\longmapsto x_{n}=x\left(t_{n}\right)\) dans la fenêtre \(\left[0,\varDelta t=N\tau_{e}\right[\) est donc superposition de fonctions harmoniques de fréquences discrètes \(\left(\nu_{k}=\frac{k}{N}\nu_{e}\right)_{k\in\left[0,N-1\right]}\) dans la l'intervalle \(\left[0,\nu_{e}\right[\).
\(c_{k}=\frac{Y_{k}}{N}\) est le coefficient de la décomposition spectrale «en amplitude» correspondant:
\[x_{n}=\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}e^{j2\pi\nu_{k}t_{n}}\]
5.3.2 Lien avec la série de Fourier de \(x\) sur un intervalle lorsque l'échantillonnage est suffisamment fin
Supposons ici que la fonction \(t\longmapsto x\left(t\right)\) est:
- continue
- varie lentement à l'échelle de \(\tau_{e}\) (échantillonnage suffisamment fin)
Cela signifie en outre que le support spectral de \(\nu\longmapsto\hat{x}\left(\nu\right)\) est pratiquement inclus dans la fenêtre \(\left[0,\nu_{e}\right[\).
Qualitativement, on peut alors approcher:
\[c_{k}=\frac{Y_{k}}{N}=\frac{1}{\Delta t}\sum_{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-j2\pi\nu_{k}t_{n}}\times\tau_{e}\] par une intégrale:
\[c_{k}\cong\frac{1}{\Delta t}\int_{0}^{\Delta t}x\left(t\right)e^{-j2\pi\nu_{k}t}dt\]
qui s'identifie au coefficient de la série de Fourier associée à \(x\) sur l'intervalle \(\left[0,\Delta t=N\tau_{e}\right[\).
On peut alors formellement reconstruire \(x_{n}=x\left(t_{n}=n\tau_{e}\right)\) par:
\[x_{n}=\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}e^{j2\pi\nu_{k}t_{n}}\]
Le résultat se prolonge donc à une fonction \(x\) \(T\)-périodique de période:
\[T=N\tau_{e}\]
où, quasi-indépendamment du choix de \(\alpha\):
\[c_{k}\cong\frac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}x\left(t\right)e^{-j2\pi\nu_{k}t}dt\]
Si maintenant on cherche à retpoduire x sur une très longue durée, cela revient à choisir \(N\) très grand, à \(\tau_{e}\) restant fixé.
Qualitativement, on peut alors approcher:
\[Y_{k}=\sum_{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-j2\pi\nu_{k}t_{n}}\] par une intégrale:
\[Y_{k}\cong\hat{X}\left(\nu_{k}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\left(t\right)e^{-j2\pi\nu_{k}t}dt\]
en prolongeant \(x\) par la fonction nulle pour \(t<0\).
La résolution est d'autant meilleure que \(N\) est grand.
Plus \(x\) est «accidentée» sur des temps très courts, plus il faut diminuer \(\tau_{e}\).