4.4 Spectre (continu) d'un signal réel n'appartenant à \(L^{1}\left(\mathbb{R}\right)\) (complément)
4.4.1 Introduction
On ne développera pas ce paragraphe, en dépit du fait qu'il est utile dans d'autres disciplines (les sciences industrielles l'utilisent couramment).
On s'intéresse à un signal démarrant à \(t=0\) (ou que l'on prend en compte que pour \(t\geq0\)) mais qui ne s'annule pas forcément à l'infini.
Un exemple très simple est un échelon:
\[\left\{ \begin{array}{lll}f\left(t\right)=0 & \textrm{si} & t<0\\f\left(t\right)=E & \textrm{si} & t\geq0\end{array}\right.\]
qui n'est clairement pas \(L^{1}\left(\mathbb{R}\right)\).
Peut-on encore parler de spectre?
4.4.2 Transformation de Laplace
Soit \(f\) une fonction à valeurs dans \(\mathbb{C}\), \(C^{0}\left(\mathbb{R}\right)\) par morceaux.
On appelle transformation de Laplace l'application linéaire:
\[\mathcal{L}:\left\{ \begin{array}{l}C^{0}\left(\mathbb{R}\right)\longrightarrow C^{0}\left(\mathbb{R}\right)\\f\longmapsto\hat{f}=\mathcal{F}\left(f\right)\end{array}\right.\]
avec:
\[\boxed{F\left(p\right)=\int_{0}^{+\infty}f\left(t\right)e^{-pt}dt}\]
où:
\[p=-\lambda-j2\pi\nu\]
- \(\nu\) est la fréquence
- \(\lambda>0\) est l'amortissement
Remarque:
En posant:
\[p=-j2\pi\bar{\nu}\]
on obtient:
\[F\left(p\right)=G\left(\bar{\nu}\right)=\int_{0}^{+\infty}f\left(t\right)e^{j2\pi\bar{\nu}t}dt\]
et, comme \(f\) est supposée nulle pour \(t<0\), cela revient à une transformée de Fourier avec une fréquence formellement complexe.
Ce n'est pas si étonnant que cela car les régimes transitoires dans les circuits linéaires engendrent naturellement ce type de signaux, en particulier suite à l'application d'un échelon.
Par commodité, on qualifiera la fonction \(t\longmapsto e^{-pt}=e^{j2\pi\bar{\nu}t}\) de fonction harmonique étendue.
4.4.3 Le problème de l'inversion
Elle consiste à déterminer si \(f\) peut être vue comme une superposition continue de fonctions hamoniques étendues.
La réponse est affirmative mais nous ne rentrerons pas dans le problème de l'inversion, qui s'effectue dans le plan complexe.
4.4.4 Utilisation pratique
L'étude des régimes transitoires dans un système linéaire à coefficients constants:
- de signal d'entrée \(v_{e}\)
- de signal de sortie \(v_{s}\)
pour des signaux \(v_{e}\) n'appartenant pas à \(L^{1}\left(\mathbb{R}\right)\), peut être effectuée efficcament en prenant la transformée de Laplace.
On touve alors \(p\longmapsto V_{s}\left(p\right)=H\left(p\right)V_{e}\left(p\right)\) et on utilise des tables conduisant à l'inversion pour des fonctions connues.