9.3 Mesure de \(l^{*}\) pour le doublet jaune du sodium
9.3.1 Données
On s'intéresse à la mesure de l'écart \(\triangle\lambda\) entre les 2 composantes du doublet jaunbe du sodium, isolé par un filtre approprié.
Pour cela, on va mesurer avec la meilleure précision possible la longueur de cohérence temporelle:
\[\boxed{l^{*}=\frac{1}{\triangle\sigma}}\]
associée, où:
\[\sigma=\frac{1}{\lambda}\]
désigne le nombre d'onde.
Un dispositif interférométrique à \(2\) ondes permet d'accéder à la fonction interférogramme \(\delta\longmapsto I\left(\delta\right)\), où \(\delta\) désigne la différence de marche entre les 2 ondes cohérentes secondaires issue d'une même source ponctuelle monochromatique \(S_{\lambda}\).
On se limite à une dispositif non dispersif dans le domaine utilisé, i.e. pour lequel en tout point d'observation, \(\delta\) ne dépend pas de \(\lambda\).
La fonction \(I\) est alors donné par la superposition de \(2\) fonctions de Fresnel de nombres d'onde \(\sigma_{1}\) et \(\sigma_{2}>\sigma_{1}\) de même intensité \(I_{0}\):
\[I\left(\delta\right)=I_{\sigma_{1}}\left(\delta\right)+I_{\sigma_{2}}\left(\delta\right)=2I_{0}\left[1+\cos\left(2\pi\sigma_{1}\delta\right)\right]+2I_{0}\left[1+\cos\left(2\pi\sigma_{2}\delta\right)\right]\]
qui se met sous la forme:
\[I\left(\delta\right)=4I_{0}\left[1+V\left(\triangle\sigma,\delta\right)\cos\left(2\pi\sigma_{m}\delta\right)\right]\]
avec:
\[\left\{ \begin{array}{l}\sigma_{m}=\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\lambda_{2}}+\frac{1}{\lambda_{1}}\right)\\\triangle\sigma=\sigma_{2}-\sigma_{1}=\frac{1}{\lambda_{2}}-\frac{1}{\lambda_{1}}>0\end{array}\right.\]
et:
\[V\left(\triangle\sigma,\delta\right)=\cos\left(\pi\triangle\sigma\delta\right)=\cos\left(\pi\frac{\delta}{l^{*}}\right)\]
où:
\[l^{*}=\frac{1}{\triangle\sigma}=\frac{\lambda_{2}\lambda_{1}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\]
est la longueur de cohérence temporelle associée à la source bichromatique étudiée.
On a donc:
\[\boxed{I\left(\delta\right)=4I_{0}\left[1+\cos\left(\pi\frac{\delta}{l^{*}}\right)\cos\left(2\pi\frac{\delta}{\lambda_{m}}\right)\right]}\]
où:
\[\lambda_{m}=\frac{1}{\sigma_{m}}\]
est la longueur d'onde moyenne.
En ordre de grandeur:
\[\left\{ \begin{array}{l}\lambda_{2}=589.0\:nm\\\lambda_{1}=589.6\:nm\end{array}\right.\]
sont donc très proches en valeur relative ce qui entraîne que, pour fixer les idées:
\[\left\{ \begin{array}{l}\lambda_{m}=\frac{2\lambda_{2}\lambda_{1}}{\lambda_{2}+\lambda_{1}}\cong589.3\:nm\\l^{*}=\frac{\lambda_{2}\lambda_{1}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\simeq\frac{\lambda_{m}^{2}}{\triangle\lambda}\cong0.58\:\mu m\end{array}\right.\]
Bilan:
On obtient donc un interférogramme mettant en jeu \(2\) différences de marche caractéristiques très différentes en ordre de grandeur:
- une pseudo-période \(\lambda_{m}\cong589.3\:nm\) qui devra également faitre l'objet d'une mesure précise
- une période \(l^{*}\cong0.58\:\mu m\) du contraste local \(\delta\longmapsto\mathcal{C}\left(\triangle\sigma,\delta\right)=\left|V\left(\triangle\sigma,\delta\right)\right|\) des franges d'interférence, qu'il va s'agir de mesurer avec le plus de précision possible, d'où découle celle de \(\triangle\lambda\), puisque la précision donnant \(\lambda_{m}\) est d'environ \(0.1\)%, a priori beaucoup mieux connue que l'incertitude prévisible sur \(l^{*}\).
Remarque:
On ne tient pas compte ici du fait que chacune des 2 composantes a une larguer caractéristique \(\delta\sigma<\Delta\sigma\) dont on ne discutera pas la contribution majoritaies (collisionnelle, Doppler).
Qualitativement, l'interférogrmamme précédent possède une “super-enveloppe” non périodique (spectre continu) d'extension caractéristique \(\frac{1}{\delta\sigma}\) qui limite l'observation du nombre de minima locaux de visibilité.
9.3.2 Protocole
On va examiner à l'oeil les franges obtenues par un interféromètre de Michelson:
- éclairé par une source spatialement étendue \(\Sigma\) (lampe à vapeur de sodium avec filtre jaune approprié)
- réglé en lame d'air
- avec une observation à l'infini optique (lieu de localisation des franges, dont le contraste est indépendant de la taille de la source)
On constate que le contraste apparaît comme quasi uniforme à l'oeil et la différence de marche \(\delta=2e\) se rapportera par défaut au centre des anneaux.
Lorsque les anneaux sont correctement réglés à l'infini (ils doivent ni s'ouvrir ni se refermer quand l'oeil défile dans le champ d'interférences perçu par la rétine), on mesure des valeurs du chariotage repérée par une abscisse \(x=e\) correspondant à un minimum de contraste, qui approche donc les différences de marche validant la condition:
\[\delta_{m}=2e_{m}=ml^{*}\]
où \(m\) est entier et \(x=e\) prend pour origine le contact optique entre les \(2\) miroirs équivalents.
Les graduations principales sont en demi millimètres et la rotation du chariot fait défiler latéralement \(50\) graduations pour \(0.5\:mm\).
\(2\) graduations consécutives sont donc distantes de:
\[2\varDelta=10\:\mu m\]
Le chariotage est apprécié à une demi-graduation près soit à \(\Delta=5\mu m\).
9.3.3 Résultats groupe \(1\)
Les mesures fournies par un étudiant qui estime pouvoir déceler le minimum (théoriquement nul) à mieux de \(5\mu m\) près (ce qui correspond à un défilement d'environ \(17\) franges), ont donné les résultats suivants, en unités de \(5\mu m\):
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|}n{^\circ} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\\hline x_{\left[\mu m\right]} & 4.185 & 4.420 & 4.785 & 5.005 & 5.295 & 5.600 & 5.855 & 6.125\end{array}\]
où \(x\) désigne l'absccise associée au chariotage de l'interféromètre considéré (\(x=0\) correspond simplement à la butée et pas le contact optique).
L'incertitude de lecture de type \(B\), dans l'hypothèse d'une répartition uniforme, conduit donc à:
\[\varDelta x_{B}=\frac{\varDelta}{\sqrt{3}}=2.9\:\mu m\]
On a donc \(N=7\) “battements” dont on va rechercher la translation consécutive moyenne \(x_{cons}\) et son écart-type \(\triangle x_{cons}\) estimés par la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO).
- Droite de régression par la méthode des MCO:
avec, à partir du seul échantillon:\[\left\{ \begin{array}{l}\hat{a}_{1}=0.27964285714285714\\\hat{a}_{0}=3.9003571428571426\end{array}\right.\] - Résidus:
avec une évaluation estimée de l'écart-type des erreurs à partir du seul échantillon:\[\hat{\sigma}\simeq0.0274837614393871\]et un coefficient de détermination:\[R=r^{2}=0.998622003958074\]qui n'apporte pas grand chose dès lors qu'on prend la peine de tracer un graphe. - Traitement des mesures:\[\begin{array}{c|cccc}m\acute{e}thode & a_{1} & \sigma_{a_{1}} & \frac{\sigma_{a_{1}}}{a_{1}} & \%\\\hline 1 & 0.2796 & 4.629\:10^{-4} & 0.00166 & 0.16\\2 & 0.2796 & 4.468\:10^{-4} & 0.00160 & 0.16\\3 & 0.2796 & 4.241\:10^{-3} & 0.0152 & 1.52\end{array}\]
- Décision:La 3ème méthode suggère que d'autres incertitudes sont en jeu que celles de type B liées à la lecture des graduations.On choisit donc de l'adopter ce qui conduit à proposer une détermination de la pente à \(1.5\)% près:\[a_{1}{}_{\left[mm\right]}\in\left[0.280-0.0045,\:0.280+0.0045\right]\]en adoptant \(\Delta a_{1}=0.0045\:mm\) (en unités \(0.5\mu m\)).
- Résultat final:\[l^{*}=2a_{1}\]L'incertitude est donc prise par défaut à \(4.5\:\mu m\) (en unités \(0.5\:\mu m\)) et on va donc adopter \(\overline{l^{*}}=0.560\:mm\).Le résultat proposé est le suivant:\[\boxed{l_{\left[\mu m\right]}^{*}\in\left[560-4.5,560+4.5\right]}\]ou:\[\boxed{555.5\:\mu m\leq l^{*}\leq564.5\:\mu m}\]
9.3.4 Comparaison avec la littérature
La littérature (source: wikipedia) fournit:
\[\left\{ \begin{array}{l}\lambda_{2}\cong589.5924\:nm\\\lambda_{1}\cong588.9950\:nm\end{array}\right.\]
qui conduit à:
\[l_{th}^{*}=581.3\:\mu m\]
Le résultat théorique est significativement disjoint (de \(3.5\)% environ) de la mesure retournant \(\bar{l}^{*}=560\:\mu m\), donné à 1.5%.
Une interprétation de ce décalage n'est pas facile avec un seul groupe.
La principale interrogation est la suivante: la précision du résultat de la mesuer repose sur l'affirmation de l'étudiant selon laquelle l'appréciation d'une annulation du contraste se fait à un chariotage inférieur à \(5\mu m\) près.
Or la fonction contraste ne varie justement qu'à l'ordre \(2\) au voisinage de \(\delta=\delta_{m}\) ce qui la rend probalement plus floue que l'incertitude envisagée.
Une issue possible d'examiner les résultats de mesures similaires réalisées par plusieurs groupes (incertitudes de type \(A\)).
Si le décalage s'effectue toujours dans le même sens, il faudra examiner la possibilité d'un biais.
9.3.5 Résultats d'un autre étudiant
Un nouvel étudiant, sur un autre interféromètre, fait alors de nouvelles mesures.
Informé du désaccord précédent:
- il repère l'abscisse \(x_{co}\) correspondant au contact optique
- il choisit une plage où il estime pouvoir optimiser l'appréciation des minima de visibilité
- il optimise tout particulièrement:le réglage du parallélisme et la stabilité des anneaux (localisés à l'infini), lorsqu'il déplace l'oeil horizontalement et verticalement, en le validant sur toute la plage d'abscisse balayée
- il interpose un filtre interférentiel pour le doublet
- il encadre les intervalles d'abscisses encadrant un minimum de visibilité des battements, en effectuant des mesures répétt&es
Des photographies sont prises afin de pouvoir confirmer la pertinence des mesures.
Il confirme pouvoir déceler le minimum (théoriquement nul) à mieux de \(5\mu m\) près (ce qui correspond à un défilement d'environ \(17\) franges), et, compte tenu du temps imparti, il retourne résultats suivants, en unités de \(5\mu m\):
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|}n{^\circ} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\\hline x_{\left[\mu m\right]} & 4.060 & 4.345 & 4.635 & 4.930 & 5.220 & 5.515 & 5.795\end{array}\]
où \(x\) désigne l'absccise associée au chariotage de l'interféromètre considéré (\(x=0\) correspond simplement à la butée et pas le contact optique).
L'incertitude de lecture de type \(B\), dans l'hypothèse d'une répartition uniforme, conduit donc à:
\[\varDelta x_{B}=\frac{\varDelta}{\sqrt{3}}=2.9\:\mu m\]
On a donc \(N=6\) “battements” dont on va rechercher la translation consécutive moyenne \(x_{cons}\) et son écart-type \(\triangle x_{cons}\) estimés par la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO).
- Droite de régression par la méthode des MCO:
avec, à partir du seul échantillon:\[\left\{ \begin{array}{l}\hat{a}_{1}=0.29035714285714287\\\hat{a}_{0}=3.7671428571428565\end{array}\right.\] - Résidus:
avec une évaluation estimée de l'écart-type des erreurs à partir du seul échantillon:\[\hat{\sigma}\simeq0.004053217416888833\]et un coefficient de détermination:\[R=r^{2}=0.9999652038148722\]qui n'apporte pas grand chose dès lors qu'on prend la peine de tracer un graphe. - Traitement des mesures:\[\begin{array}{c|cccc}m\acute{e}thode & a_{1} & \sigma_{a_{1}} & \frac{\sigma_{a_{1}}}{a_{1}} & \%\\\hline 1 & 0.2904 & 5.669\:10^{-4} & 0.00195 & 0.20\\2 & 0.2903 & 5.418\:10^{-4} & 0.00187 & 0.19\\3 & 0.2904 & 7.660\:10^{-4} & 0.00264 & 0.26\end{array}\]
- Décision:Cette fois, les méhodes donnent des résultats très proches, ce qui suGgère que les incertitudes de type \(B\) proposées sont bien déterminantes et constituent donc vraisemblablement la cause principale révélée par l'écart-type estimé par la 3ème méthode.On choisit donc de l'adopter ce qui conduit à proposer une détermination de la pente à \(0.3\)% près:\[a_{1}{}_{\left[mm\right]}\in\left[0.290-0.001,\:0.290+0.001\right]\]en adoptant \(\Delta a_{1}=0.001\:mm\) (en unités \(0.1\mu m\)).
- Résultat final:\[l^{*}=2a_{1}\]L'incertitude est donc prise par défaut à \(1\:\mu m\) par excès (en unités \(1\:\mu m\)) et on va donc adopter \(\overline{l^{*}}=0.580\:mm\).Le résultat proposé est le suivant:\[\boxed{l_{\left[\mu m\right]}^{*}\in\left[580-2,580+2\right]}\]ou:\[\boxed{578\:\mu m\leq l^{*}\leq582\:\mu m}\]On rappelle que\[l_{th}^{*}=581.3\:\mu m\]qui appartient désormais à cet intervalle.
Remarque:
Attention, ce résultat malgré tout encourageant pourrait être isolé.
Il convient de répéter les mesures de façon indépendante pour valider ce résultat et notamment garantir la précision ambitieuse annoncée.