9.2 Mesure d'une résistance

9.2.1 Données

• de la tension réglée à l'aide d'une alimentation stabilisée graduée en Volts
• de l'intensité du courant mesurée par un ampèremètre numérique

• l'abscisse \(x\) se rapportera à la tension (en \(V\))
• l'abscisse \(y\) se rapportera à l'intensité (en \(A\))

9.2.2 Paramètres issus de la méthode des MCO appliqué au seul échantillon de référence

9.2.3 Approximation \(\sigma_{app}\) de \(\sigma\) à partir des incertitudes de type \(B\) et résulats associés

• si on ne prend pas en compte les fluctuations des abscisses:
  \[\left\{ \begin{array}{l}\sigma_{X}\longleftarrow0\\\sigma_{Y}\longleftarrow0.003\end{array}\right.\]
  donc:
  \[\boxed{\sigma\longleftarrow\sigma_{Y}=0.003}\]
  Les coefficients de la droite de régression subsistent (ils ne dépendent que de l'échantillon) et évalue alors leur écart-type approché:
  \[\left\{ \begin{array}{l}\hat{\sigma}_{1,app}=\frac{\sigma_{Y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}}\cong0.00033028912953790817\\\hat{\sigma}_{0,app}=\sigma_{Y}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}}\cong0.001763261440935776\end{array}\right.\]
  
• si on prend en compte les fluctuations de abscisses:
  \[\left\{ \begin{array}{l}\sigma_{X}\longleftarrow0.1\\\sigma_{Y}\longleftarrow0.003\end{array}\right.\]
  et on évalue de façon appprochée \(a_{1}\sigma_{X}\) par \(\hat{a}_{1}\sigma_{X}\simeq0.0396\times0.1=0.00396\) qui devient comparable à \(\sigma_{Y}=0.003\).
  \[\boxed{\sigma\longleftarrow\sigma_{app}=\sqrt{\sigma_{Y}^{2}+\hat{a}_{1}^{2}\sigma_{X}^{2}}\cong0.0049690241968859275}\]
  Soulignons que \(\sigma_{app}^{2}\) n'est pas un estimteur de \(\sigma^{2}\) mais une approximation aux contours discutables.
  On évalue alors leur écart-type approché:
  \[\left\{ \begin{array}{l}\hat{\sigma}_{1,app}=\frac{\sigma_{app}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}}\cong0.0005470715588807521\\\hat{\sigma}_{0,app}=\sigma_{app}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^{2}}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}}\cong0.0029205629218152724\end{array}\right.\]
  

9.2.4 Mise en oeuvre d'une méthode de Monte-Carlo à partir de l'échantillon

• \(x_{i,p}\) est une réalisation de la loi \(\mathcal{N}\left(x_{i},\sigma_{X}^{2}\right)\)
• \(y_{i,p}\) est une réalisation de la loi \(\mathcal{N}\left(y_{i},\sigma_{Y}^{2}\right)\)

• les estimateurs sans biais \(\hat{a}_{1,rand,}\) et \(\hat{a}_{0,rand}\) associés aux \(M\) échantillons randomisés:
  \[\left\{ \begin{array}{l}\overline{\hat{a}}_{1,rand}\cong0.03961212121212121\\\overline{\hat{a}}_{0,rand}\cong-5.4545454545425415e-05\end{array}\right.\]
• les estimateurs sans biais \(\hat{V}\left(\hat{a}_{1,rand}\right)\) et \(\hat{V}\left(\hat{a}_{0,rand}\right)\) associés aux \(M\) échantillons randomisés sont donnés par les variances empiriques:
  \[\left\{ \begin{array}{l}\hat{\sigma}_{1,rand}\simeq0.0005332728356574939\\\hat{\sigma}_{0,rand}\simeq0.002908727406928964\end{array}\right.\]

9.2.5 Comparaison des méthodes

• si on ne prend pas en compte les fluctuations des abscisses:
  \[\begin{array}{c|cccc}m\acute{e}thode & a_{1} & \sigma_{a_{1}} & \frac{\sigma_{a_{1}}}{a_{1}} & \textrm{\%}\\\hline 1 & 3.9612\:10^{-2} & 3.259\:10^{-4} & 0.00823 & 0.82\\2 & 3.9608\:10^{-2} & 3.286\:10^{-4} & 0.00830 & 0.83\\3 & 3.9612\:10^{-2} & 1.044\:10^{-4} & 0.00263 & 0.26\end{array}\]
  On s'attend à une bonne convergence des \(2\) premières méthodes, car elles utilisent explicitement le paramètres \(\sigma_{X}\), sachant que le nombre de tirages aléatoires fournissant les échantillons est ici égal à \(M=2000\).
  En revanche, la 3ème méthode conduit à une dispersion plus faible, bien que du même ordre de grandeur, étant par construction insensible à \(\sigma_{X}\), la convergence n'étant assurée que si \(n\) est suffisamment grand.
  On va donc proposer un résultat final à \(1\)%.
  Les méthodes sont alors comparables sauf que la 1ère est immédiate et ne demande pas les ressources requises pour la méthode de Monte-Carlo.
• si on prend en compte les fluctuations des abscisses:
  En ordre de grandeur, les écarts relatifs sont donnés ci-dessous:
  \[\begin{array}{c|cccc}m\acute{e}thode & a_{1} & \sigma_{a_{1}} & \frac{\sigma_{a_{1}}}{a_{1}} & \%\\\hline 1 & 3.9612\:10^{-2} & 5.471\:10^{-4} & 0.00138 & 1.4\\2 & 3.9612\:10^{-2} & 5.333\:10^{-4} & 0.00134 & 1.3\\3 & 3.9612\:10^{-2} & 1.044\:10^{-4} & 0.00263 & 0.26\end{array}\]
  On peut s'interroger sur la convergence des \(2\) premières méthodes, car elles utilisent certes explicitement les paramètres \(\sigma_{X}\) et \(\sigma_{Y}\), mais la valeur \(\sigma_{app}\) attribuée à \(\sigma\) est approchée et n'est le résultat rigoureux d'aucun estimateur.
  En revanche, la 3ème méthode conduit à une dispersion plus faible, bien que du même ordre de grandeur, étant par construction insensible à \(\sigma_{X}\) et \(\sigma_{Y}\), la convergence n'étant assurée que si \(n\) est suffisamment grand.
  On va donc proposer un résultat final à \(1.5\)%.
  Là aussi, les méthodes sont alors comparables sauf que la 1ère est immédiate et ne demande pas les ressources requises pour la méthode de Monte-Carlo.
  Toutefois la méthode de Monte-Carlo prend en compte plus rigoureusement la dispersion de la mesure des abscisses et on l'adoptera en cas de désaccord avec la 1ère méthode.

9.2.6 Résultat final proposé