7.14 Exemples simples d'application
7.14.1 Hypothèses
Soit \(X\) et \(Y\) deux v.a. associées à \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) indépendantes.
On va s'intéresser à la v.a. \(Z\) associée à \(\mathcal{Z}\) définie par:
\[Z=\varphi\left(X,Y\right)\]
et on va s'intéresser à des fonctions \(\varphi\) simples.
On supposera que ces v.a. ne peuvent prendre que des valeurs strictement positives.
7.14.2 Somme de deux v.a. indépendantes
La somme des v.a. \(X\) et \(Y\) correspond à:
\[Z=\varphi\left(X,Y\right)=X+Y\]
- espérance \(\bar{z}=\bar{x}+\bar{y}\)
- écart-type \(\triangle z=\sqrt{\triangle x^{2}+\triangle y^{2}}\)
7.14.3 Différence de deux v.a. indépendantes
La différence des v.a. \(X\) et \(Y\) correspond à:
\[Z=\varphi\left(X,Y\right)=X-Y\]
- espérance \(\bar{z}=\bar{x}-\bar{y}\)
- écart-type \(\triangle z=\sqrt{\triangle x^{2}+\triangle y^{2}}\)
7.14.4 Produit de deux v.a. indépendantes
Le produit des v.a. \(X\) et \(Y\) correspond à:
\[Z=\varphi\left(X,Y\right)=XY\]
donc:
\[\ln Z=\ln X+\ln Y\]
- espérance \(\bar{z}=\bar{x}\bar{y}\)
- écart-type via \(\frac{\triangle z}{\bar{z}}=\sqrt{\left(\frac{\triangle x}{\bar{x}}\right)^{2}+\left(\frac{\triangle y}{\bar{y}}\right)^{2}}\)
7.14.5 Rapport de deux v.a. indépendantes
Le rapport des v.a. \(X\) et \(Y\) correspond à:
\[Z=\varphi\left(X,Y\right)=\frac{X}{Y}\]
donc:
\[\ln Z=\ln X-\ln Y\]
- espérance \(\bar{z}=\frac{\bar{x}}{\bar{y}}\)
- écart-type via \(\frac{\triangle z}{\bar{z}}=\sqrt{\left(\frac{\triangle x}{\bar{x}}\right)^{2}+\left(\frac{\triangle y}{\bar{y}}\right)^{2}}\)
Pour des lois plus compliquées, on pourra se diriger vers une méthode numérique.