7.13 Propagation des incertitudes
7.13.1 Formule de propagation des incertitudes
Soit une grandeur \(\mathcal{Z}\) causalement fonction de \(2\) grandeurs physiques \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\).
Soit \(X\) et \(Y\) deux v.a. associées à \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) indépendantes:
- \(X\) est une v.a.:
- d'espérance \(\mu_{X}\) notée \(\bar{x}\) et appelée moyenne
- d'écart-type \(\sigma_{X}=\sqrt{V_{X}}\) noté \(\Delta x\) et appelé incertitude-type
- \(Y\) est une v.a.:
- d'espérance \(\mu_{Y}\) notée \(\bar{y}\) et appelée moyenne
- d'écart-type \(\sigma_{Y}=\sqrt{V_{Y}}\) noté \(\Delta y\) et appelé incertitude-type
Ainsi:
- le résultat d'une mesure de \(\mathcal{X}\) est donnée par l'intervalle \(\left[\bar{x}-\Delta x,\bar{x}+\Delta x\right]\)
- le résultat d'une mesure de \(\mathcal{Y}\) est donnée par l'intervalle \(\left[\bar{y}-\Delta y,\bar{y}+\Delta y\right]\)
Dans ces conditions, si on peut retenir pour \(Z=\varphi\left(X,Y\right)\) l'approximation au \(1^{\textrm{er}}\) ordre au voisinage de \(\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right),\)le résultat d'une mesure de \(\mathcal{Z}\) est donnée par l'intervalle \(\left[\bar{z}-\Delta z,\bar{x}+\Delta z\right]\) où:
- l'espérance \(\mu_{Z}\) de la v.a. \(Z\), appelée moyenne, est donnée par\[\boxed{\bar{z}=\varphi\left(\bar{x},\bar{y}\right)}\]
- l'écart-type \(\sigma_{Z}\) de la v.a. \(Z\), appelée incertitude-type composée, est donnée par\[\boxed{\Delta z=\sqrt{\alpha^{2}\Delta x^{2}+\beta^{2}\Delta y^{2}}}\]appelée formule de propagation des incertitudes où:\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\alpha=\frac{\partial\varphi\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)}{\partial x}\\\beta=\frac{\partial\varphi\left(\mu_{X},\mu_{Y}\right)}{\partial y}\end{array}\right.}\]
7.13.2 Formule de propagation des incertitudes relatives
On se place dans les mêmes hypothèses que précédemment.
Partons de:
\[z=\varphi\left(x,y\right)\]
d'où:
\[\ln z=\ln\varphi\left(x,y\right)\]
Supposons que les mesures de \(x\) et \(y\) sont dans un intervalle étroit autour de \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\).
En différentiant successivement à \(y\) puis à \(x\) fixés au voisinage de \(\bar{M}\left(\bar{x},\bar{y}\right)\):
\[\left\{ \begin{array}{lcc}\left.\frac{dz}{\bar{z}}\right|_{y}=\frac{1}{\bar{z}}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)_{\bar{M}}dx & avcc & y\:fix\acute{e}\\\left.\frac{dz}{\bar{z}}\right|_{x}=\frac{1}{\left|\bar{z}\right|}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)_{\bar{M}}dy & avec & x\:fix\acute{e}\end{array}\right.\]
En notations condensées:
\[\boxed{\left(\frac{\Delta z}{\bar{z}}\right)^{2}=\left(\frac{\partial\ln z}{\partial\ln x}\right)_{\bar{M}}^{2}\left(\frac{\Delta x}{\bar{x}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\ln z}{\partial\ln y}\right)_{\bar{M}}^{2}\left(\frac{\Delta y}{\bar{y}}\right)^{2}}\]
que l'on pourra appeler formule de propagation des incertitudes relatives.
On retrouve une loi de puissances avec des paramètres locaux:
\[\left\{ \begin{array}{l}\alpha=\left(\frac{\partial z_{l}}{\partial x_{l}}\right)_{\bar{M_{l}}}=\left(\frac{\partial\ln z}{\partial\ln x}\right)_{\bar{M}}\\\beta=\left(\frac{\partial z_{l}}{\partial y_{l}}\right)_{\bar{M_{l}}}=\left(\frac{\partial\ln z}{\partial\ln x}\right)_{\bar{M}}\end{array}\right.\]
ce qui est normal puisqu'on linéarise \(\ln z\) au voisinage de \(\left(\ln\bar{x},\ln\bar{y}\right)\).
La formule de propagation des incertitudes signifie qu'en moyenne statistique, les erreurs relatives s'ajoutent quadratiquement, successivement à \(y\) et \(x\) fixés.
7.13.3 Cas d'une loi en puissances
Si \(z\) est donnée par une loi de puissances:\[z=Kx^{a}y^{b}\]
alors:
\[z_{l}=\ln z=\ln K+a\ln x+b\ln y\]
soit:
\[z_{l}=\psi\left(x_{l},y_{l}\right)=\ln K+ax_{l}+by_{l}\]
d'où:
\[\left\{ \begin{array}{l}\alpha=\left(\frac{\partial z_{l}}{\partial x_{l}}\right)_{\bar{M_{l}}}=a\\\beta=\left(\frac{\partial z_{l}}{\partial y_{l}}\right)_{\bar{M_{l}}}=b\end{array}\right.\]
La formule de propagation des incertitudes conduit, dans le cas d'une loi de puissances, à un intervalle; \[\left[\bar{z}-\Delta z,\bar{z}+\Delta z\right]\]
avec:
\[\boxed{\bar{z}=\varphi\left(\bar{x},\bar{y}\right)=K\bar{x}^{a}\bar{y}^{b}}\]
et:
\[\boxed{\left(\frac{\Delta z}{\bar{z}}\right)^{2}=a^{2}\left(\frac{\Delta x}{\bar{x}}\right)^{2}+b^{2}\left(\frac{\Delta y}{\bar{y}}\right)^{2}}\]
qui détermine l'incertitude composée relative \(\frac{\Delta z}{\bar{z}}=\frac{\sigma_{Z}}{\mu_{Z}}\) supposée faible de \(\mathcal{Z}\) en fonction:
- l'erreur relative \(\frac{\Delta x}{\bar{x}}=\frac{\sigma_{X}}{\mu_{X}}\) supposée faible sur la mesure de \(\mathcal{X}\)
- l'erreur relative \(\frac{\Delta y}{\bar{y}}=\frac{\sigma_{Y}}{\mu_{Y}}\) supposée faible sur la mesure de \(\mathcal{Y}\)
On en déduit alors que:
\[\Delta z^{2}=a^{2}\left(\frac{\Delta x}{\bar{x}}\right)^{2}\bar{z}^{2}+b^{2}\left(\frac{\Delta y}{\bar{y}}\right)^{2}\bar{z}^{2}\]
ou:
\[\Delta z^{2}=\alpha^{2}\Delta x^{2}+\beta^{2}\Delta y^{2}=\left(Ka\bar{x}^{a-1}\bar{y}^{b}\right)^{2}\Delta x^{2}+\left(Kb\bar{x}^{a}\bar{y}^{b-1}\right)^{2}\Delta y^{2}\]
qui est bien conforme à la formule de propagation des incertitudes car:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\alpha=\frac{\partial\varphi\left(\bar{x},\bar{y}\right)}{\partial x}=Ka\bar{x}^{a-1}\bar{y}^{b}\\\beta=\frac{\partial\varphi\left(\bar{x},\bar{y}\right)}{\partial y}=Kb\bar{x}^{a}\bar{y}^{b-1}\end{array}\right.}\]