6.2 Cas où \(\varphi\) est linéaire
6.2.1 Définition
On envisage le cas où \(\varphi\) est linéaire, paramétrée par \(2\) coefficients réels \(a\) et \(b\) connus:
\[Z=\varphi\left(X,Y\right)=\alpha X+\beta Y\]
\(Z\) est alors:
- d'espérance:\[\boxed{\mu_{Z}=\alpha\mu_{X}+\beta\mu_{Y}}\]En effet:\[E\left(Z\right)=E\left(\alpha X+\alpha Y\right)=\alpha E\left(X\right)+\beta E\left(Y\right)=\alpha\mu_{X}+\beta\mu_{Y}\]
- de variance:\[\boxed{\sigma_{Z}^{2}=\alpha^{2}\sigma_{X}^{2}+\beta^{2}\sigma_{Y}^{2}+2\alpha\beta\textrm{cov}\left(X,Y\right)}\]
6.2.2 Cas où \(X\) et \(Y\) sont indépendantes
Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors elles sont décorrelées (l'inverse n'est pas vrai en général):
\[\textrm{cov}\left(X,Y\right)=0\]
donc:
\[\boxed{\sigma_{Z}^{2}=\alpha^{2}\sigma_{X}^{2}+\beta^{2}\sigma_{Y}^{2}}\]