6.1 Introduction
On s'intéresse à une grandeur physique \(\mathcal{Z}\) qui est causalement fonction des grandeurs physiques \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\), supposées indépendantes.
On admet que, dans des conditions expérimentales données:
- \(\mathcal{X}\) a une valeur exacte inconnue \(x\)
- \(\mathcal{Y}\) a une valeur exacte inconnue \(y\)
On associe:
- une v.a. \(X\) à \(\mathcal{X}\):
- de densité \(f_{X}\)
- d'espérance \(\mu_{X}\)
- de variance \(V_{X}=\sigma_{X}^{2}\)
- une v.a. \(Y\) à \(\mathcal{Y}\);
- de densité \(f_{Y}\)
- d'espérance \(\mu_{Y}\)
- de variance \(V_{Y}=\sigma_{Y}^{2}\)
On suppose que \(\mathcal{Z}\) est donnée en fonction de \(X\) et \(Y\) par une fonction connue \(\varphi\) supposée au moins \(C^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\).
Ainsi on associe à \(\mathcal{Z}\) une v.a. \(Z\) donnée par:
\[Z=\varphi\left(X,Y\right)\]
dont le caractère aléatoire ne résulte que de celui de \(X\) et \(Y\).
Autrement dit, si une réalisation des v.a. \(X\) et \(Y\) est donnée par le couple \(\left(x_{i},y_{i}\right)\), on considère que \(Z\) réalise:
\[z_{i}=\varphi\left(x_{i},y_{i}\right)\]
La densité \(f_{Z}\) de \(Z\) est donc connue:
\[dP=f_{Z}\left(z\right)dz=\int_{\varphi\left(x,y\right)=z}f_{X}\left(x\right)f_{Y}\left(dy\right)dxdy\]
est la probabilité que \(Z=\varphi\left(X,Y\right)\) retourne un résultat dans \(\left[z,z+dz\right]\).