2.5 Quelques distributions simples ou remarquables
2.5.1 Définitions
Soit \(X\) une v.a. continue de densité \(f\):
- d'espérance \(\mu\)
- de variance \(V=\sigma^{2}\)
On dira que \(X\) suit la loi \(\mathcal{F}\left(\mu,\sigma^{2}\right)\) et on note:
\[\boxed{X\sim\mathcal{F}\left(\mu,\sigma^{2}\right)}\]
La v.a. associée:
\[X_{cr}=\frac{X-\mu}{\sigma}\]
\(X_{cr}\) suit donc la loi \(\mathcal{F}\left(0,1\right)\) de densité \(f_{cr}\) telle que:
\[f_{X_{cr}}\left(x\right)=f\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)\]
La fonction de répartition s'écrit:
\[F\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}\]
La fonction quantile est donnée par:
\[Q_{X}\left(u\right)=\textrm{inf}\left\{ x\in\mathbb{R}/\:F_{X}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}\geq u\right\} \]
2.5.2 Loi isotrope
La loi \(\mathcal{F}\left(\mu,\sigma^{2}\right)\) sera dite isotrope si \(f_{cr}\) est paire.
2.5.3 Intervalle de confiance associé à un estimateur
Soit \(\alpha\in\left]0,1\right[\).
On appelle intervalle de confiance \(I=IC\left(1-\alpha\right)=\left[a\left(\alpha\right),b\left(\alpha\right)\right]\) à \(1-\alpha\) de la v.a. \(X\) le domaine pour lequel:
\[P\left(a\left(\alpha\right)\leq X\leq b\left(\alpha\right)\right)=\int_{a\left(\alpha\right)}^{b\left(\alpha\right)}f\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}=1-\alpha\]
Introduisons la fonction de répartition \(F_{X}\):
\[F_{X}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}=1-\int_{x}^{+\infty}f\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}\]
Si \(f\) est paire, il existe \(\eta\left(\alpha\right)\) strictement positif tel que:
\[\left\{ \begin{array}{l}a\left(\alpha\right)=-\eta\left(\alpha\right)\\a\left(\alpha\right)=+\eta\left(\alpha\right)\end{array}\right.\]
et:
\[F_{X}\left(-x\right)=\int_{-\infty}^{-x}f\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}=-\int_{+\infty}^{x}f\left(-x^{\prime\prime}\right)dx^{\prime\prime}=\int_{x}^{+\infty}f\left(x^{\prime\prime}\right)dx^{\prime\prime}=1-F_{X}\left(x\right)\]
\[F_{X}\left(x\right)-F_{X}\left(-x\right)=2F_{X}\left(x\right)-1\]
L'équation:
\[2F_{X}\left(x\right)-1=1-\alpha\]
admet une solution positive \(x=\eta\left(\alpha\right)\)
La fonction quantile est donc donnée par:
\[Q_{X}\left(u\right)=\textrm{inf}\left\{ x>0/\:F_{X}\left(x\right)\geq u\right\} \]
donc:
\[2F_{X}\left[x=\eta\left(\alpha\right)\right]-1=1-\alpha\]
soit:
\[F_{X}\left[x=\eta\left(\alpha\right)\right]=1-\frac{\alpha}{2}\]
Bilan:
Le quantile
\[\boxed{\eta\left(\alpha\right)=Q_{X}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}\]
est tel que
\[\boxed{\int_{-Q_{X}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}^{+Q_{X}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}f\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}=1-\alpha}\]
L'intervalle:
\[IC\left(1-\alpha\right)=\left[-Q_{X}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right),+Q_{X}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)\right]\]
détermine l'intervalle de confiance qu'une réalisation \(x\) de la v.a. \(X\) se situe dans cet intervalle avec une probabilité \(1-\alpha\).
2.5.4 Profil uniforme centré de largeur \(2a\)
Un profil uniforme centré noté \(\mathcal{U}\left(-a,a\right)\) correspond donc à la fonction centrée normalisée:
\[f:\:\left\{ \begin{array}{l}x\longrightarrow\mathbb{R}^{+}\\x\longmapsto f\left(x\right)\end{array}\right.\]
donnée par:
\[\left\{ \begin{array}{lcc}f\left(x\right)=\frac{1}{2a} & \textrm{si} & -a\leq x\leq+a\\f\left(x\right)=0 & \textrm{ailleurs}\end{array}\right.\]
Calculons son écart-type, sachant que l'espérance est nulle (profil pair):
\[\mu\left(f\right)=\int_{-a}^{+a}xf\left(x\right)dx=0\]
Donc:
\[V\left(f\right)=\sigma^{2}\left(f\right)=\int_{-a}^{+a}x^{2}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}\frac{1}{2a}x^{2}dx=2\times\left(2a\right)^{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^{\prime2}dx^{\prime}=\frac{a^{2}}{3}\]
ce qui signifie que la variance du profil carré centré dans \(\left[-a,+a\right]\) vaut:
\[\sigma=\frac{a}{\sqrt{3}}\]
Bilan:
Pour un profil uniforme \(\mathcal{U}\left(-a,a\right)\) dans l'intervalle \(I=\left[-a,+a\right]\), l'écart type vaut exactement:
\[\boxed{\sigma=\frac{a}{\sqrt{3}}}\]
Remarque 1:
La fonction de répartition:
\[x\longmapsto F_{unif}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f\left(x\right)dx\]
a l'allure suivante:
Remarque 2:
La fonction caractéristique est donnée par:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=E\left(e^{itX}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x\right)e^{itx}dx=\frac{1}{2a}\int_{-a}^{+a}e^{itx}dx=\frac{1}{2a}\times\frac{e^{ita}-e^{-ita}}{it}=\textrm{sinc}\left(at\right)\]
où \(\textrm{sinc}\) désigne la fonction sinus cardinal définie par:
\[\varphi_{X}:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\x\longmapsto\textrm{sinc}x=\frac{\sin x}{x}\end{array}\right.\]
soit:
\[\boxed{\varphi_{X}\left(t\right)=\textrm{sinc}\left(at\right)}\]
Elle est donc réelle et a l'allure suivante:
Sachant qu'au voisinage de \(x=0\):
\[\textrm{sinc}x=1-\frac{x^{2}}{6}+o\left(x^{3}\right)\]
on a donc:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=1-\frac{a^{2}}{6}t^{2}+o\left(t^{3}\right)\]
on retrouve donc que:
\[\left\{ \begin{array}{l}\mu_{1}=E\left(X\right)=\frac{1}{i}\varphi_{X}^{\prime}\left(0\right)=0\\\mu_{2}=E\left(X^{2}\right)=\frac{1}{i^{2}}\varphi_{X}^{\prime\prime}\left(0\right)=\frac{a^{2}}{3}\end{array}\right.\]
Donc on retrouve facilement que, pour un profil carré centré:
\[\boxed{\left\{ \begin{array}{l}\mu_{1}=0\\\sigma=\frac{a}{\sqrt{3}}\end{array}\right.}\]
2.5.5 Profil triangulaire centré de largeur \(2a\)
Un profil triangulaire centré noté \(\mathcal{T}\left(-a,a\right)\) correspond à la fonction centrée normalisée:
\[f:\:\left\{ \begin{array}{l}x\longrightarrow\mathbb{R}^{+}\\x\longmapsto f\left(x\right)\end{array}\right.\]
donnée par:
\[\left\{ \begin{array}{lcc}f\left(x\right)=\frac{1}{a}\left(1-\frac{\left|x\right|}{a}\right) & \textrm{si} & -a\leq x\leq+a\\f\left(x\right)=0 & \textrm{ailleurs}\end{array}\right.\]
Calculons son écart-type, sachant que l'espérance est nulle:
\[\mu\left(f\right)=\int_{-a}^{+a}xf\left(x\right)dx=0\]
Donc:
\[V\left(f\right)=\sigma^{2}\left(f\right)=\int_{-a}^{+a}x^{2}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}x^{2}\frac{1}{a}\left(1-\frac{x}{a}\right)dx=\frac{2}{a}\times\left(2a\right)^{3}\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^{\prime2}\left(1-2x^{\prime}\right)dx^{\prime}=\frac{a^{2}}{6}\]
ce qui signifie que l'écart-type du profil triangulaire centré dans \(\left[-a,+a\right]\) vaut:
\[\boxed{\sigma=\frac{a}{\sqrt{6}}}\]
Remarque 1:
La fonction de répartition:
\[x\longmapsto F_{tri}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f\left(x\right)dx\]
a l'allure suivante:
Remarque 2:
La fonction caractéristique est donnée par:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=E\left(e^{itX}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x\right)e^{itx}dx\]
Puisque \(f\) est paire:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=\int_{-a}^{+a}f\left(x\right)\cos\left(tx\right)dx=2\int_{0}^{+a}f\left(x\right)\cos\left(tx\right)dx\]
soit:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=\frac{2}{a}Re\left[\int_{0}^{+a}\left(1-\frac{x}{a}\right)e^{itx}dx\right]\]
Introduisons la fonction:
\[t\longmapsto J\left(t\right)=\int_{0}^{+a}e^{itx}dx=\frac{e^{ita}-1}{it}\]
d'où:
\[t\longmapsto J^{\prime}\left(t\right)=i\int_{0}^{+a}xe^{itx}dx=\frac{iae^{ita}}{it}-\frac{e^{ita}-1}{it^{2}}=-e^{i\frac{ta}{2}}\frac{2\sin\frac{ta}{2}}{t^{2}}\]
puis:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=\frac{2}{a}Re\left[J\left(t\right)-\frac{1}{ia}J^{\prime}\left(t\right)\right]\]
Donc:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=\frac{2}{a}Re\left[\frac{e^{ita}-1}{it}-\frac{e^{ita}}{it}-\frac{e^{ita}-1}{ait^{2}}\right]=\frac{2}{a}Re\left[\frac{-1}{it}+e^{i\frac{ta}{2}}\frac{2\sin\frac{ta}{2}}{iat^{2}}\right]\]
d'où:
\[\boxed{\varphi_{X}\left(t\right)=\frac{2}{a}\frac{2\sin^{2}\frac{ta}{2}}{at^{2}}=\textrm{sinc}^{2}\frac{ta}{2}}\]
Elle est donc réelle et a l'allure suivante:
Sachant qu'au voisinage de \(x=0\):
\[\textrm{sinc}x=\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^{2}}{3}+o\left(x^{3}\right)\]
on en déduit que:
\[\textrm{sinc}^{2}x=1-2\times\frac{x^{2}}{6}+o\left(x^{3}\right)\]
Au voisinage de \(t=0\):
\[\varphi_{X}\left(t\right)=1-\frac{a^{2}t^{2}}{12}+o\left(t^{3}\right)\]
on retrouve donc que:
\[\left\{ \begin{array}{l}\mu_{1}=E\left(X\right)=\frac{1}{i}\varphi_{X}^{\prime}\left(0\right)=0\\\mu_{2}=E\left(X^{2}\right)=\frac{1}{i^{2}}\varphi_{X}^{\prime\prime}\left(0\right)=\frac{a^{2}}{6}\end{array}\right.\]
Donc:
\[\left\{ \begin{array}{l}\mu_{1}=E\left(X\right)=0\\\sigma=\sqrt{E\left[\left(X-E\left(X\right)\right)^{2}\right]}=\sqrt{\mu_{2}-\mu_{1}^{2}}=\frac{a}{\sqrt{6}}\end{array}\right.\]
Remarque 3:
Il est intéressant de remarquer que le profil triangulaire centré de largeur \(a\):
\[f_{t,\left[-a,+a\right]}=f_{u,\left[-\frac{a}{2},+\frac{a}{2}\right]}\circledast f_{u,\left[-\frac{a}{2},+\frac{a}{2}\right]}\]
est l'autoconvolution de \(2\) profils uniformes centrés de largeur \(\frac{a}{2}\).
La fonction caractéristique \(\varphi_{X,t}\) pour \(\mathcal{T}\left(-a,a\right)\) se déduit donc de celle de \(\varphi_{X,u}\) pour \(\mathcal{U}\left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)\) par:
\[\varphi_{X,t}\left(t\right)=\varphi_{X,u}\left(t\right)\times\varphi_{X,u}\left(t\right)=\textrm{sinc}^{2}\frac{ta}{2}\]
2.5.6 Profil normal centré \(\mathcal{N}_{0,\sigma^{2}}\)
La loi normale est donnée par la fonction normalisée:
\[\boxed{f:\:\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{+}\\x\longmapsto\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}\right]\end{array}\right.}\]
est caractérisée par une fonction Gaussienne centrée normalisée paramétrée par:
- une moyenne \(\mu=0\) qui s'identifie à son espérance:\[\mu\left(f\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf\left(x\right)dx=0\]
- une largeur caractéristique \(\sigma\) qui s'identifie à son écart-type \(\sigma\) :\[V\left(f\right)=\sigma^{2}\left(f\right)-\mu^{2}\left(f\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}fdx=\sigma^{2}\]
Remarque 1:
La fonction de répartition est donnée par:
\[x\longmapsto F_{norm}\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f\left(x\right)dx\]
Elle a l'allure suivante:
Remarque 2:
La fonction caractéristique est donnée par:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=E\left(e^{itX}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x\right)e^{itx}dx=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}e^{itx}dx\]
On remarque que:
\[-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}+itx=-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}+itx=-\frac{1}{2\sigma^{2}}\left(x-\sigma^{2}it\right)^{2}+\frac{1}{2\sigma^{2}}\left(\sigma^{2}it\right)^{2}\]
soit:
\[-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}+itx=\frac{1}{2\sigma^{2}}\times\sigma^{2}it\times\sigma^{2}it-\frac{1}{2\sigma^{2}}\left(x-\sigma^{2}it\right)^{2}\]
En admettant que, pour \(\alpha>0\) et \(\beta\in\mathbb{R}\):
\[I\left(\alpha,\beta\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha\left(x+i\beta\right)^{2}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\]
on obtient donc:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{it}{2}\left(\sigma^{2}it\right)}\times\sqrt{2\pi\sigma^{2}}\]
soit:
\[\boxed{\varphi_{X}\left(t\right)=e^{-\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}}\]
La fonction caractéristique de la loi normale a également un profil Gaussien (à une constante mlultiplicative près).
On a donc:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=1-\frac{t^{2}\sigma^{2}}{2}+o\left(t^{3}\right)\]
soit:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=1-\frac{t^{2}\sigma^{2}}{2}+o\left(t^{3}\right)\]
on retrouve donc que:
\[\left\{ \begin{array}{l}\mu_{1}=E\left(X\right)=\frac{1}{i}\varphi_{X}^{\prime}\left(0\right)=0\\\mu_{2}=E\left(X^{2}\right)=\frac{1}{i^{2}}\varphi_{X}^{\prime\prime}\left(0\right)=\sigma^{2}\end{array}\right.\]
Remarque 3:
Il est commode d'introduire la fonction erreur (error function):
\[\boxed{\textrm{erf}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}\]
de sorte que:
\[F_{norm}\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\frac{x}{\sigma\sqrt{2}}}e^{-t^{2}}dt=\frac{1}{2}\left[\textrm{erf}\left(\frac{x}{\sigma\sqrt{2}}\right)-\textrm{erf}\left(-\infty\right)\right]\]
soit:
\[F_{norm}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[\textrm{erf}\left(\frac{x}{\sigma\sqrt{2}}\right)+1\right]\]
Remarque 4:
L'intervalle de confiance de trouver \(x\) avec une probabilité \(1-\alpha\) est de la forme:
\[\boxed{\hat{IC}\left(1-\alpha\right)=\left[-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sigma,+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sigma\right]}\]
où \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) est donné par la condition:
\[\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sigma}^{+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sigma}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}dx=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{z_{1-\frac{\alpha}{2}}}e^{-\frac{x^{\prime2}}{2}}dx^{\prime}=\textrm{erf}\left(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=1-\alpha\]
soit:
\[\boxed{\textrm{erf}\left(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=1-\alpha}\]
On comprend le sens de fonction d'erreur associée à “erf”.
On trouve notamment les résultats suivants:
\[\begin{array}{c|c}\textrm{Intervalle de confiance} & \textrm{Probabilit\'{e} \ensuremath{1-\alpha} associ\'{e}e}\\\hline \left[-\sigma,+\sigma\right] & 68\%\\\left[-1.96\sigma,+1.96\sigma\right] & 95\%\\\left[-3\sigma,+3\sigma\right] & 99.7\%\end{array}\]
Résultat pratique:
Pour une distribution normale centrée dont l'écart type est donné par \(\sigma\), l'intervalle \(\left[-\sigma,+\sigma\right]\) est donné dans notre cas à:
\[\boxed{1-\alpha=0.68=68\%}\]
Valeur approchée:
On pourra remarquer que \(0.68\) est proche de \(\frac{2}{3}\cong0.67\) de sorte que:
\[\boxed{1-\alpha\cong\frac{2}{3}}\]
2.5.7 Combinaison linéaire d'une famille de \(n\) v.a. normales indépendantes
Soient \(X_{1}\),...,\(X_{n}\) une famille de \(n\) v.a. indépendantes, normales i.e. pour lesquelles, \(\forall i\in\left[1,n\right]\):
\[X_{i}\sim\mathcal{N}\left(\mu_{i},\sigma_{i}^{2}\right)\]
Soient \(\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in\mathbb{R}\) tous non nuls.
On s'intéresse à la v.a. sur \(\mathbb{R}\):
\[Z=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}X_{k}\]
La fonction caractéristique \(\varphi_{X_{i}}\), supposée définie, de la v.a. \(X_{i}\) est donc donnée \(\forall t\in\mathbb{R}\) par:
\[\varphi_{X_{i}}\left(t\right)=E\left[e^{itX_{i}}\right]\]
En introduisant la v.a.:
\[X_{i,cr}=\frac{X_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}^{2}}\sim\mathcal{N}\left(0,1\right)\]
sachant que:
\[\varphi_{X_{i,cr}}\left(t\right)=E\left[e^{itX_{i,cr}}\right]=e^{-\frac{t^{2}}{2}}\]
on obtient:
\[\varphi_{X_{i}}\left(t\right)=E\left[e^{-i\mu_{i}t}e^{it\sigma_{i}^{2}X_{i,c}}\right]=e^{-i\mu_{i}t}\varphi_{X_{i,cr}}\left(\sigma_{i}^{2}t\right)=e^{-i\mu_{i}t}e^{-\frac{\sigma_{i}^{2}t^{2}}{2}}\]
Les v.a. \(X_{1}\),...,\(X_{n}\) formant une famille de \(n\) v.a. indépendantes:
\[\varphi_{Z}\left(t\right)=\varphi_{X_{1}}\left(\lambda_{1}t\right)\times...\times\varphi_{X_{n}}\left(\lambda_{n}t\right)\]
soit, les v.a. étant normales:
\[\varphi_{Z}\left(t\right)=e^{-i\lambda_{1}\mu_{1}t}e^{-\frac{\lambda_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}t^{2}}{2}}\times...\times e^{-i\lambda_{n}\mu_{n}t}e^{-\frac{\lambda_{n}^{2}\sigma_{n}^{2}t^{2}}{2}}\]
qui se met donc sous la forme:
\[\varphi_{Z}\left(t\right)=e^{-i\left(\lambda_{1}\mu_{1}+...+\lambda_{n}\mu_{n}\right)t}e^{-\frac{\left(\lambda_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+...+\lambda_{n}^{2}\sigma_{n}^{2}\right)t^{2}}{2}}\]
Bilan:
Soient \(X_{1}\),...,\(X_{n}\) une famille de \(n\) v.a. indépendantes, normales i.e. pour lesquelles, \(\forall i\in\left[1,n\right]\):
\[X_{i}\sim\mathcal{N}\left(\mu_{i},\sigma_{i}^{2}\right)\]
Soient \(\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in\mathbb{R}\) tous non nuls.
Alors la v.a.:
\[Z=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}X_{k}\]
suit une loi normale:
\[\boxed{Z\sim\mathcal{N}\left(\mu_{Z},\sigma_{Z}^{2}\right)}\]
- d'espérance:\[\boxed{\mu_{Z}=\lambda_{1}\mu_{1}+...+\lambda_{n}\mu_{n}}\]
- de variance:\[\boxed{\sigma_{Z}^{2}=\lambda_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+...+\lambda_{n}^{2}\sigma_{n}^{2}}\]
Cas particulier d'une famille iid de v.a. normales:
Dans ce cas, les v.a. sont indépendantes, identiquement distribuées selon une même loi normale:
\[X_{i}\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^{2}\right)\]
On a alors:
\[\boxed{Z\sim\mathcal{N}\left(\mu\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k},\sigma^{2}\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}^{2}\right)}\]