2.4 Moments d'une variable aléatoire
2.4.1 Définition
On appelle moment d'ordre \(m\) d'une v.a. \(X\):
\[\boxed{\mu_{m}=E\left(X^{m}\right)}\]
Donc:
- Si \(X\) est une v.a. discrète sur l'univers \(\Omega=\left\{ x_{1},...,x_{n}\right\} \) de dimension finie \(M\):\[\boxed{\mu_{m}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{m}P\left(X=x_{k}\right)}\]On généralise au cas d'une v.a. dénombrable.
- Si \(X\) est une v.a. continue sur \(\Omega=\mathbb{R}\) de densité \(f\):\[\boxed{\mu_{m}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{m}f\left(x\right)dx}\]
Remarque:
- \(\mu_{1}=E\left[X\right]\) s'identifie donc à l'espérance de la v.a. \(X\)
- \(\mu_{2}=E\left[X^{2}\right]\) s'identifie donc à la variance de la v.a. \(X\)
- \(\sqrt{\mu_{2}-\mu_{1}^{2}}=\sqrt{E\left[\left(X-\mu_{1}\right)^{2}\right]}\) s'identifie donc à l'écart-type \(\sigma\) de la v.a. \(X\)
2.4.2 Fonction caractéristique
Soit \(X\) une v.a. réelle.
Si elle est définie, la fonction:
\[\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}\\t\longmapsto\varphi_{X}\left(t\right)=E\left(e^{itX}\right)\end{array}\right.\]
est appelée fonction caractéristique.
En effet, si \(\mu_{m}\) existe, puisque:
\[\varphi_{X}^{\left(m\right)}\left(t\right)=E\left(i^{m}X^{m}e^{itX}\right)\]
on a donc:
\[\boxed{\mu_{m}=E\left(X^{m}\right)=\frac{1}{i^{m}}\varphi_{X}^{\left(m\right)}\left(0\right)}\]
Bilan:
- Si \(X\) est une v.a. réelle discrète:\[\varphi_{X}\left(t\right)=E\left(e^{itX}\right)=\sum_{k=1}^{n}p_{k}e^{itx_{k}}\]On généralise à une v.a. dénombrable.
- Si \(X\) est une v.a. réelle continue de densité \(f\):\[\varphi_{X}\left(t\right)=E\left(e^{itX}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x\right)e^{itx}dx\]
Remarque:
On définit également une fonction génératrice des moments:
\[\left\{ \begin{array}{l}\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\t\longmapsto G_{X}\left(t\right)=E\left(e^{tX}\right)\end{array}\right.\]
pour laquelle:
\[\mu_{m}=E\left(X^{m}\right)=G_{X}^{\left(m\right)}\left(0\right)\]
2.4.3 Lien avec la transformée de Fourier
Soit une v.a. \(X\) réelle de densité \(f\) et de fonction caractéristique \(\varphi_{X}\).
On remarque que:
\[\varphi_{X}\left(t\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x\right)e^{itx}dx=\hat{f}\left(t\right)\]
où \(\hat{f}=\mathcal{F}\left(f\right)\) est la transformée de Fourier de la densité \(f\) i.e.:
\[\boxed{\varphi_{X}=\hat{f}}\]
\(\varphi_{X}\) a donc toutes les propriétés de la transformée de Fourier d'une fonction à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Ainsi:
- Si \(x\longmapsto g\left(x\right)=f\left(-x\right)\):\[\hat{g}\left(t\right)=\hat{f}\left(-t\right)\]Application:Pour la v.a. \(-X\):\[\varphi_{-X}\left(t\right)=\varphi_{X}\left(-t\right)\]
- Si \(x\longmapsto g\left(x\right)=f\left(x-x_{0}\right)\) est la translatée de \(f\) de \(t_{0}\):\[\hat{g}\left(t\right)=e^{itx_{0}}\hat{f}\left(t\right)\]Application:Pour la v.a. centrée \(X_{c}=X-\mu\):\[\varphi_{X_{c}}\left(t\right)=e^{it\mu}\varphi_{X}\left(t\right)\]
- Si \(x\longmapsto g\left(x\right)=f\left(\lambda x\right)\) est la dilatée de \(f\) de \(\lambda\in\mathbb{R}^{+*}\):\[\hat{g}\left(t\right)=\frac{1}{\lambda}\hat{f}\left(\frac{t}{\lambda}\right)\]Application 1:Pour la variable centrée réduite \(X_{cr}=\frac{X-\mu}{\sigma}\):\[\varphi_{X_{cr}}\left(t\right)=\sigma e^{it\mu}\varphi_{X}\left(\sigma t\right)\]
- D'après le théorème de réciprocité, si \(\varphi_{X}\) est intégrable, on peut reconstituer \(f\) à partir de \(\varphi_{X}\):\[f=\mathcal{F}^{-1}\left(\hat{f}\right)=\mathcal{F}^{-1}\left(\varphi_{X}\right)\]soit:\[\boxed{f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_{X}\left(t\right)e^{-itx}dt}\]qui permet donc de retrouver \(f\) par inversion de Fourier de \(\varphi_{X}\).
- Si \(h=f\otimes g\) est le produit de convolution de \(f\)et \(g\), i.e. si l'on suppose que la fonction définie par:\[f\varoast g\left(x\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x^{\prime}\right)g\left(x-x^{\prime}\right)dx\]existe, alors:\[\boxed{\hat{h}=\mathcal{F}\left(h=f\varoast g\right)=\hat{f}\times\hat{g}}\]est le produit des transformées de Fourier \(\hat{f}=\mathcal{F}\left(f\right)\) et \(\hat{g}=\mathcal{F}\left(g\right)\).Réciproquement, si \(h=f\times g\) est le produit de \(f\)et \(g\):\[\boxed{\hat{h}=\mathcal{F}\left(h=f\times g\right)=\hat{f}\varoast\hat{g}}\]
2.4.4 Fonction caractéristique d'une combinaison linéaire de \(n\) v.a. indépendantes
Soient \(n\) v.a. \(X_{1},...,X_{n}\) indépendantes réelles (i.e. mutuellement indépendantes deux à deux).
Soient \(\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in\mathbb{R}\).
Intéressons-nous à la v.a. sur \(\mathbb{R}\):
\[Z=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}X_{k}\]
On s'intéresse à la fonction caractéristique \(\varphi_{Z}\).
On suppose que les espérances qui interviennentd ans la suite sont définies.
On a alors:
\[\varphi_{Z}\left(t\right)=E\left[e^{it\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}X_{k}}\right]=E\left[e^{i\lambda_{1}tX_{1}}\times...\times e^{i\lambda_{n}tX_{n}}\right]\]
Si \(X_{1},...,X_{n}\) sont indépendantes, les v.a. \(e^{i\lambda_{1}tX_{1}}\),...,\(e^{i\lambda_{1}tX_{n}}\) le sont également (ce que l'oin peut voir comme une conséquence du lemme des coalitions). Donc:
\[\varphi_{Z}\left(t\right)=E\left[e^{i\lambda_{1}tX_{1}}\right]\times...\times E\left[e^{i\lambda_{n}tX_{n}}\right]\]
soit:
\[\boxed{\varphi_{Z}\left(t\right)=\varphi_{X_{1}}\left(\lambda_{1}t\right)\times...\times\varphi_{X_{n}}\left(\lambda_{n}t\right)}\]
2.4.5 Applications
Application 1:
Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes:
\[\left\{ \begin{array}{l}\varphi_{X+Y}\left(t\right)=\varphi_{X}\left(t\right)\varphi_{Y}\left(t\right)\\\varphi_{X-Y}\left(t\right)=\varphi_{X}\left(t\right)\varphi_{Y}\left(-t\right)\end{array}\right.\]
Application 2:
En particulier, si \(X_{1}\),...,\(X_{n}\) sont \(n\) v.a. indépendantes, la v.a.:
\[\overline{X}_{n}=\frac{X_{1}+...+X_{n}}{n}\]
a une fonction caractéristique \(\varphi_{\overline{X}_{n}}\) donnée par:
\[\varphi_{\overline{X}_{n}}\left(t\right)=\varphi_{X_{1}}\left(\frac{t}{n}\right)\times...\times\varphi_{X_{n}}\left(\frac{t}{n}\right)\]
2.4.6 Famille de v.a. indépendantes et identiquement distribuées (iid)
Soit \(X_{1}\),...,\(X_{n}\) une famille de \(n\) v.a..
On dira qu'elles sont indépendantes et identiquement distribuées, que l'on notera iid, si elles sont:
- indépendantes
- identiquement distribuées, i.e. de même densité \(f_{X_{i}}=f_{X}\), où \(X\) désigne l'une quelconque des \(n\) v.a. considérées
Les fonctions caractéristiques de ces v.a. sont donc identiques:
\(\varphi_{X_{1}}=...=\varphi_{X_{n}}\) que l'on va noter \(\varphi_{X}\)
Conséquence:
Soit \(X_{1}\),...,\(X_{n}\) une famille iid de \(n\) v.a. de même densité \(f_{X}\).
Soit \(\varphi_{X}\) la fonction caractéristique associée (supposée définie).
On obtient alors, pour une combinaison linéaire:
\[Z=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}X_{k}\]
de cette famille:
\[\varphi_{Z}\left(t\right)=\varphi_{X}\left(\lambda_{1}t\right)\times...\times\varphi_{X}\left(\lambda_{n}t\right)\]
Exemple:
Si \(X_{1}\),...,\(X_{n}\) est une famille de v.a. iid, alors la v.a.:
\[\overline{X}_{n}=\frac{X_{1}+...+X_{n}}{n}\]
a une fonction caractéristique \(\varphi_{\overline{X}_{n}}\) donnée par:
\[\varphi_{\overline{X}_{n}}\left(t\right)=\left[\varphi_{X}\left(\frac{t}{n}\right)\right]^{n}\]