On note \(x\) et \(y\) les coordonnées cartésiennes de \(\left(C\right)\) dans le repère orthonormé \(\left(F,\overrightarrow{e}_{x},\overrightarrow{e}_{y}\right)\).

Supposons que \(e>0\):

\[\frac{MF}{MH}=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{d_{0}-x}}=e\]

sachant que:

\[d_{0}=FH_{0}=\frac{p}{e}\]

On est donc ramené à étudier la forme quadratique:

\[Q:\:\left(x,y\right)\longmapsto x^{2}+y^{2}-\left(p-ex\right)^{2}\]

avec:

\[Q\left(x,y\right)=\left(1-e^{2}\right)x^{2}+y^{2}+2epx-p^{2}\]

et on examine les courbes définies par la condition:

\[Q\left(x,y\right)=0\]