1.1 Définition d'une conique par foyer, directrice
On se place dans le plan affine euclidien \(\mathcal{E}_{2}\) muni d'un repère orthonormé \(R=Oxy\).
Soient:
- une droite \(\left(D\right)\) appelée directrice
- un point \(F\notin\left(D\right)\) appelé foyer
- un réel \(e\geq0\) appelé excentricité
On appelle conique \(\left(C\right)\) de directrice \(\left(D\right)\), de foyer \(F\) et d'excentricité \(e\) l'ensemble des points:
\[\left(C\right)=\left\{ M\in\mathcal{E}_{2}/\:\frac{MF}{MH}=e\right\} \]
où \(H=proj_{\perp}\left(M,\left(D\right)\right)\) désigne la projection orthogonale de \(M\) sur \(\left(D\right)\).
Moyennant une rotation des axes, on va choisir:
- l'origine \(O\) des coordonnées en \(F\)
- l'axe \(Fx\) orthogonal à \(\left(D\right)\), qui est donc l'axe de symétrie de la conique
- l'axe \(Fy\) parallèle à \(\left(D\right)\), déduit de \(Fx\) par une rotation de \(+\frac{\pi}{2}\) dans le sens trigonométrique
Il pourra être commode d'interpréter \(\mathcal{E}_{2}\) comme un sous-espace de l'espace affine euclidien \(\mathcal{E}_{3}\), muni d'un repère orthonormé direct \(R=Oxyz\) sachant que, à l'aide du tire-bouchon de Maxwell, l'orientation positive associée au sens trigonométrique est donnée par:
\[\overrightarrow{e}_{+}=\overrightarrow{e}_{z}=\overrightarrow{e}_{x}\wedge\overrightarrow{e}_{y}\]
On désigne enfin par:
- \(P\) le point de \(\left(C\right)\) situé sur l'axe de symétrie \(Fx\)
- \(H_{0}=proj_{\perp}\left(P,\left(D\right)\right)\) le point de \(\left(D\right)\) situé sur \(Fx\) et l'on pose:\[FH_{0}=d_{0}\]
Remarque:
A conique donnée d'axe de symétrie \(x^{\prime}x\) et ayant une intersection en \(P\), remarquons que le foyer \(F\) se situe sur \(x^{\prime}x\) toujours du côté de la concavité de \(\left(C\right)\) , i.e. du côté du vecteur normal \(\overrightarrow{n}\left(P\right)\) dirigé vers le centre de courbure en \(P\) à \(\left(C\right)\) .